Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/26

‎Въ этомъ случаѣ существуетъ два линейно-независимыхъ частныхъ интеграла, разлагающихся въ области точки $\alpha _{i}$ въ ряды такого вида:

$y_{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),$ $y_{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}[\varphi _{2}(z-\alpha _{i})+lg(z-\alpha _{i})\varphi _{3}(z-\alpha _{i})].$^[1]

‎Если въ уравненіи (2) всѣ интегралы алгебраическіе, то этотъ послѣдній случай встрѣтиться не можетъ.

Поэтому мы въ правѣ утверждать, что уравненіе (2) въ области особой точки непремѣнно имѣетъ два частныхъ интеграла вида (12) съ различными между собою показателями степени $r_{1}$ и $r_{2}$.

Подставивъ въ уравненіе (2) выраженіе

$y=(z-\alpha _{i})^{r_{j}}\varphi _{i}(z-\alpha _{i}),$ гдѣ $j=1$ или 2,

(12')

‎найдемъ:

${\begin{matrix}r_{j}(r_{j}-1)(z-\alpha _{i})^{r_{j}-2}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+r_{j}p_{1}(z-\alpha _{i})^{r_{j}-1}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+\\+\,p_{2}(z-\alpha _{i})^{r_{j}}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+\ldots =0,\end{matrix}}$

(13)

‎Для нахожденія величинъ $r_{1}$ и $r_{2}$ мы отберемъ въ лѣвой части тождества (13) коэффиціентъ при наинисшей степени $(z-\alpha _{i})$ и приравняемъ его нулю. Полученное такимъ образомъ уравненіе должно быть квадратнымъ относительно $r_{j}$: ему должно удовлетворять два не равныхъ между собою корня $r_{1}$ и $r_{2}$. Слѣдовательно наинисшая степень $z-\alpha _{i}$ лѣвой части тождества (13) есть $r_{j}-2$. Коэффиціенты $p_{1}$ и $p_{2}$, какъ мы знаемъ, могутъ (одинъ изъ нихъ даже долженъ) имѣть полюсъ въ точкѣ $\alpha _{i}$. Изъ тождества (13) заключаемъ, что порядокъ этого полюса для функціи $p_{1}$—не выше 1, а для

1. См. Анисимовъ ibidem стр. 49.

Тот же текст в современной орфографии

‎В этом случае существует два линейно-независимых частных интеграла, разлагающихся в области точки $\alpha _{i}$ в ряды такого вида:

$y_{1}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}\varphi _{1}(z-\alpha _{i}),$ $y_{2}=(z-\alpha _{i})^{r_{1}}[\varphi _{2}(z-\alpha _{i})+\ln(z-\alpha _{i})\varphi _{3}(z-\alpha _{i})].$^[1]

‎Если в уравнении (2) все интегралы алгебраические, то этот последний случай встретиться не может.

Поэтому мы вправе утверждать, что уравнение (2) в области особой точки непременно имеет два частных интеграла вида (12) с различными между собой показателями степени $r_{1}$ и $r_{2}$.

Подставив в уравнение (2) выражение

$y=(z-\alpha _{i})^{r_{j}}\varphi _{i}(z-\alpha _{i}),$ где $j=1$ или 2,

(12')

‎найдем:

${\begin{matrix}r_{j}(r_{j}-1)(z-\alpha _{i})^{r_{j}-2}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+r_{j}p_{1}(z-\alpha _{i})^{r_{j}-1}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+\\+\,p_{2}(z-\alpha _{i})^{r_{j}}\varphi _{j}(z-\alpha _{i})+\ldots =0,\end{matrix}}$

(13)

‎Для нахождения величин $r_{1}$ и $r_{2}$ мы отберем в левой части тождества (13) коэффициент при наинисшей степени $(z-\alpha _{i})$ и приравняем его нулю. Полученное таким образом уравнение должно быть квадратным относительно $r_{j}$: ему должно удовлетворять два не равных между собой корня $r_{1}$ и $r_{2}$. Следовательно наинисшая степень $z-\alpha _{i}$ левой части тождества (13) есть $r_{j}-2$. Коэффициенты $p_{1}$ и $p_{2}$, как мы знаем, могут (один из них даже должен) иметь полюс в точке $\alpha _{i}$. Из тождества (13) заключаем, что порядок этого полюса для функции $p_{1}$ — не выше 1, а для

1. См. Анисимов ibidem стр. 49.