Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/27

функціи $p_{2}$—не выше 2. Поэтому коэффиціенты $p_{1}$ и $p_{2}$ можно представить въ такомъ видѣ:

$p_{1}={\frac {\pi _{1}}{z-\alpha _{i}}},\ p_{2}={\frac {\pi _{2}}{(z-\alpha _{i})^{2}}},$

(14)

‎гдѣ $\pi _{1}$ и $\pi _{2}$ суть раціональныя алгебраическія функціи $z$, которыя при $z=\alpha _{i}$ имѣютъ конечныя величины (одна изъ нихъ можетъ обращаться въ 0).

Подставивъ выраженія (14) въ тождество (13), мы найдемъ что коэффиціентъ при $(z-\alpha _{i})^{r_{j}-2}$ въ лѣвой части тождества (13) равенъ:

$[r_{j}(r_{j}-1)+(\pi _{1})_{0}r_{j}+(\pi _{2})_{0}]\varphi _{j}(0),$

(15)

‎гдѣ $(\pi _{1})_{0}$ и $(\pi _{2})_{0}$ суть значенія $\pi _{1}$ и $\pi _{2}$ при $z=\alpha _{j}$.

Такъ какъ $\varphi _{j}(0)$ отлично отъ 0, то уравненіе, опредѣляющее показатели $r_{1}$ и $r_{2}$ таково:

$r_{j}(r_{j}-1)+(\pi _{1})_{0}r_{j}+(\pi _{2})_{0}=0,$

‎или, опуская индексъ $j$:

$r(r-1)+(\pi _{1})_{0}r+(\pi _{2})_{0}=0.$

(16)

‎Это—опредѣляющее уравненіе Фукса^[1] для точки $\alpha _{i}$.

Разложимъ функціи $p_{1}$ и $p_{2}$ на простыя дроби. Изъ формулъ (14) видно, что эти разложенія будутъ таковы:

$\left.{\begin{matrix}p_{1}={\dfrac {\lambda _{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {\lambda _{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {\lambda _{i}}{z-\alpha _{i}}}+\ldots +{\dfrac {\lambda _{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}},\\p_{2}={\dfrac {\mu _{1}}{(z-\alpha _{1})^{2}}}+{\dfrac {\mu _{2}}{(z-\alpha _{2})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {\mu _{i}}{(z-\alpha _{i})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {\mu _{\rho }}{(z-\alpha _{\rho })^{2}}}+\\+\,{\dfrac {\nu _{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {\nu _{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {\nu _{i}}{z-\alpha _{i}}}+\ldots +{\dfrac {\nu _{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}},\end{matrix}}\right\}$

(17)

1. Уравненіе (16), а равно и видъ (14) коэффиціентовъ $p_{1}$ и $p_{2}$ можно получить очень просто изъ общихъ формулъ Фукса. См. Анисимовъ ibidem стр. 96.

Тот же текст в современной орфографии

функции $p_{2}$ — не выше 2. Поэтому коэффициенты $p_{1}$ и $p_{2}$ можно представить в таком виде:

$p_{1}={\frac {\pi _{1}}{z-\alpha _{i}}},\ p_{2}={\frac {\pi _{2}}{(z-\alpha _{i})^{2}}},$

(14)

‎где $\pi _{1}$ и $\pi _{2}$ суть рациональные алгебраические функции $z$, которые при $z=\alpha _{i}$ имеют конечные величины (одна из них может обращаться в 0).

Подставив выражения (14) в тождество (13), мы найдем, что коэффициент при $(z-\alpha _{i})^{r_{j}-2}$ в левой части тождества (13) равен:

$[r_{j}(r_{j}-1)+(\pi _{1})_{0}r_{j}+(\pi _{2})_{0}]\varphi _{j}(0),$

(15)

‎где $(\pi _{1})_{0}$ и $(\pi _{2})_{0}$ суть значения $\pi _{1}$ и $\pi _{2}$ при $z=\alpha _{j}$.

Так как $\varphi _{j}(0)$ отлично от 0, то уравнение, определяющее показатели $r_{1}$ и $r_{2}$, таково:

$r_{j}(r_{j}-1)+(\pi _{1})_{0}r_{j}+(\pi _{2})_{0}=0,$

‎или, опуская индекс $j$:

$r(r-1)+(\pi _{1})_{0}r+(\pi _{2})_{0}=0.$

(16)

‎Это — определяющее уравнение Фукса^[1] для точки $\alpha _{i}$.

Разложим функции $p_{1}$ и $p_{2}$ на простые дроби. Из формул (14) видно, что эти разложения будут таковы:

$\left.{\begin{matrix}p_{1}={\dfrac {\lambda _{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {\lambda _{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {\lambda _{i}}{z-\alpha _{i}}}+\ldots +{\dfrac {\lambda _{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}},\\p_{2}={\dfrac {\mu _{1}}{(z-\alpha _{1})^{2}}}+{\dfrac {\mu _{2}}{(z-\alpha _{2})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {\mu _{i}}{(z-\alpha _{i})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {\mu _{\rho }}{(z-\alpha _{\rho })^{2}}}+\\+\,{\dfrac {\nu _{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {\nu _{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {\nu _{i}}{z-\alpha _{i}}}+\ldots +{\dfrac {\nu _{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}},\end{matrix}}\right\}$

(17)

1. Уравнение (16), а равно и вид (14) коэффициентов $p_{1}$ и $p_{2}$ можно получить очень просто из общих формул Фукса. См. Анисимов ibidem стр. 96.