Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/28

‎гдѣ $\lambda _{1},\ \ldots ,\ \lambda _{\rho },\ \mu _{1},\ \ldots ,\ \mu _{\rho },\ \nu _{1},\ \ldots ,\ \nu _{\rho }$ суть числа конечныя, при чемъ нулевыя значенія встрѣтиться могутъ.

Изъ выраженій (17) слѣдуетъ, что величины

$(\pi _{1})_{0}$ и $(\pi _{2})_{0},$

‎входящія въ уравненіе (16), таковы:

$(\pi _{1})_{0}=\lambda _{i},\ (\pi _{2})_{0}=\mu _{i}.$

‎Слѣдовательно опредѣляющее уравненіе Фукса для точки принимаетъ такой видъ:

$r(r-1)+\lambda _{i}r+\mu _{i}=0.$

(18)

‎Для того, чтобы интегралы уравненія (2) были алгебраическіе, необходимо, чтобы корни опредѣляющаго уравненія (18) были раціональны. Такъ какъ сумма корней уравненія (18) равна $1-\lambda _{i}$, а произведеніе ихъ равно $\mu _{i}$, то ясно, что $\lambda _{i}$ и $\mu _{i}$ должны быть числами раціональными.

И такъ, функціи $p_{1}$ и $p_{2}$ имѣютъ видъ (17), гдѣ $\lambda _{i}$ и $\mu _{i}$ суть раціональныя числа.

Найдя выраженія (17) функцій $p_{1}$ и $p_{2}$, мы можемъ сдѣлать нѣкоторое преобразованіе какъ алгебраическаго уравненія (1), такъ и дифференціальнаго уравненія (2) съ цѣлью упростить нѣсколько это дифференціальное уравненіе, и облегчить дальнѣйшія изслѣдованія.

Положимъ:

$y=e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta =(z-\alpha _{1})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{1}}(z-\alpha _{2})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{2}}\ldots (z-\alpha _{\rho })^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{\rho }}\eta .$

(19)

‎Такъ какъ

$\lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \ldots ,\ \lambda _{\rho }$

‎суть числа раціональная, то множитель:

$(z-\alpha _{1})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{1}}(z-\alpha _{2})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{2}}\ldots (z-\alpha _{\rho })^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{\rho }}$

‎есть радикалъ изъ раціональной функціи $z$.

Тот же текст в современной орфографии

‎где $\lambda _{1},\ \ldots ,\ \lambda _{\rho },\ \mu _{1},\ \ldots ,\ \mu _{\rho },\ \nu _{1},\ \ldots ,\ \nu _{\rho }$ суть числа конечные, причем нулевые значения встретиться могут.

Из выражений (17) следует, что величины

$(\pi _{1})_{0}$ и $(\pi _{2})_{0},$

‎входящие в уравнение (16), таковы:

$(\pi _{1})_{0}=\lambda _{i},\ (\pi _{2})_{0}=\mu _{i}.$

‎Следовательно определяющее уравнение Фукса для точки принимает такой вид:

$r(r-1)+\lambda _{i}r+\mu _{i}=0.$

(18)

‎Для того, чтобы интегралы уравнения (2) были алгебраические, необходимо, чтобы корни определяющего уравнения (18) были рациональны. Так как сумма корней уравнения (18) равна $1-\lambda _{i}$, а произведение их равно $\mu _{i}$, то ясно, что $\lambda _{i}$ и $\mu _{i}$ должны быть числами рациональными.

Итак, функции $p_{1}$ и $p_{2}$ имеют вид (17), где $\lambda _{i}$ и $\mu _{i}$ суть рациональные числа.

Найдя выражения (17) функций $p_{1}$ и $p_{2}$, мы можем сделать некоторое преобразование как алгебраического уравнения (1), так и дифференциального уравнения (2) с целью упростить несколько это дифференциальное уравнение, и облегчить дальнейшие исследования.

Положим:

$y=e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta =(z-\alpha _{1})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{1}}(z-\alpha _{2})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{2}}\ldots (z-\alpha _{\rho })^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{\rho }}\eta .$

(19)

‎Так как

$\lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \ldots ,\ \lambda _{\rho }$

‎суть числа рациональная, то множитель:

$(z-\alpha _{1})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{1}}(z-\alpha _{2})^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{2}}\ldots (z-\alpha _{\rho })^{-{\frac {1}{2}}\lambda _{\rho }}$

‎есть радикал из рациональной функции $z$.