Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/29

Если $y$ было функціей алгебраической, то и $\eta$ будетъ тоже функціей алгебраической и обратно.

Послѣ подстановки (19) алгебраическое уравненіе (1) преобразуется въ новое алгебраическое уравненіе нѣкоторой степени $n$:

$F(y,\ z)=0.$

(20)

‎Дифференціальное же уравненіе (2) преобразуется въ болѣе простое уравненіе:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}=Py,$

(21)

‎гдѣ

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(22)

‎Понятно, что все сказанное объ уравненіяхъ (1) и (2) безъусловно примѣнимо и къ уравненіямъ (20) и (21), но не обратно: уравненіямъ (20) и (21) принадлежатъ новыя свойства, которыя уравненіемъ (1) и (2) не принадлежали.

Уравненіе (21) можно разсматривать, какъ простѣйшій частный случай уравненія (2): когда коэффиціентъ $p_{1}$ равенъ 0, а коэффиціентъ $p_{2}$ равенъ $-P$. Поэтому изъ формулъ (17) заключаемъ, что коэффиціентъ $-P$ разлагается на простыя дроби такого вида:

${\begin{matrix}-P={\dfrac {M_{1}}{(z-\alpha _{1})^{2}}}+{\dfrac {M_{2}}{(z-\alpha _{2})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {M_{\rho }}{(z-\alpha _{\rho })^{2}}}\,+\\+\,{\dfrac {N_{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {N_{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {N_{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}}.\end{matrix}}$

(23)

‎Опредѣляющее уравненіе Фукса для особой точки будетъ таково:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Для того, чтобы дифференціальное уравненіе (21) имѣло алгебраическіе интегралы, необходимо, чтобы корни опредѣ-

Тот же текст в современной орфографии

Если $y$ было функцией алгебраической, то и $\eta$ будет тоже функцией алгебраической, и обратно.

После подстановки (19) алгебраическое уравнение (1) преобразуется в новое алгебраическое уравнение некоторой степени $n$:

$F(y,\ z)=0.$

(20)

‎Дифференциальное же уравнение (2) преобразуется в более простое уравнение:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}=Py,$

(21)

‎где

$P={\frac {1}{4}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {dp_{1}}{dz}}-p_{2}.$

(22)

‎Понятно, что все сказанное об уравнениях (1) и (2) безусловно применимо и к уравнениям (20) и (21), но не обратно: уравнениям (20) и (21) принадлежат новые свойства, которые уравнением (1) и (2) не принадлежали.

Уравнение (21) можно рассматривать как простейший частный случай уравнения (2): когда коэффициент $p_{1}$ равен 0, а коэффициент $p_{2}$ равен $-P$. Поэтому из формул (17) заключаем, что коэффициент $-P$ разлагается на простые дроби такого вида:

${\begin{matrix}-P={\dfrac {M_{1}}{(z-\alpha _{1})^{2}}}+{\dfrac {M_{2}}{(z-\alpha _{2})^{2}}}+\ldots +{\dfrac {M_{\rho }}{(z-\alpha _{\rho })^{2}}}\,+\\+\,{\dfrac {N_{1}}{z-\alpha _{1}}}+{\dfrac {N_{2}}{z-\alpha _{2}}}+\ldots +{\dfrac {N_{\rho }}{z-\alpha _{\rho }}}.\end{matrix}}$

(23)

‎Определяющее уравнение Фукса для особой точки будет таково:

$r(r-1)+M_{i}=0.$

(24)

‎Для того, чтобы дифференциальное уравнение (21) имело алгебраические интегралы, необходимо, чтобы корни опреде-