| АРИ | — 59 — | АРИ |
аршинъ и остатокъ r очевидно меньшій аршина. Остаткомъ r измѣрю аршинъ сукна; пусть r содержится пять разъ въ аршинѣ и сверхъ того остается излишекъ r'. Положимъ также, что r содержитъ r' семь разъ и остатокъ r'', и что наконецъ r'' измѣряетъ точнымъ образомъ r' и содержится въ немъ два раза. Тогда ясно, что всѣ остатки, начиная съ перваго r, уменшаются и что наименьшій r'' содержится точное число въ остаткахъ r', r, въ аршинѣ, который означу чрезъ b, и въ длинѣ сукна x; слѣдовательно всѣ величины r', r, b и x могутъ выразиться въ частяхъ r'', то есть, r' равно два раза r''; r равно пятнадцати r''; b содержитъ семьдесятъ семь разъ r'', и наконецъ x состоитъ изъ r'' прибавленнаго къ самому себѣ 785 разъ. И такъ всю длину сукна можно разсматривать, при мѣрителѣ r'', какъ собраніе 785 одинакихъ предметовъ, подразумѣвая въ каждомъ не аршинъ, а его семьдесятъ седьмую часть; и отношеніе всей длины x къ этой части очевидно цѣлое число 785.
Заключимъ отсюда, что измѣряя, по изложенному способу, непрерывныя количества, произвольно избранною единицею, иногда называемою главною, всегда дойдемъ, не опасаясь чувствительной погрѣшности, до мѣрителя содержащагося цѣлое число разъ въ главной единицѣ и въ измѣряемомъ количествѣ; слѣдовательно чрезъ измѣреніе можно, безъ чувствительной погрѣшности, обратить всякое непрерывное количество въ разъединенное, то есть, пріискать всякому непрерывному количеству такого мѣрителя, что отношеніе этихъ величинъ будетъ цѣлое число. Величина, содержащаяся цѣлое число разъ въ главной единицѣ, называется дробью, или дробною единицею, если она служитъ въ то же время точнымъ мѣрителемъ другой величинѣ. Такъ въ предъидущемъ примѣрѣ, остатокъ r'', содержащійся 77 разъ въ аршинѣ b, есть дробь относительно аршина, но дробная единица въ разсужденіи длины сукна a, ибо r'' измѣряетъ точнымъ образомъ эту длину a. Итакъ, не дѣлая чувствительной погрѣшности, я въ правѣ разсматривать всякое количество, какъ собраніе одинаковыхъ предметовъ, подразумѣвая въ предметѣ величину и родъ избранной единицы, а въ самомъ собраніи, цѣлое число. Вотъ другой взглядъ на количество. Однако жъ я не говорю этимъ, что только совершенно одинаковые предметы, какъ напримѣръ, три аршина, пять фунтовъ, составляютъ количество. Собраніе разнородныхъ предметовъ, имѣющихъ хотя одно общее качество и разсматриваемыхъ относительно этого качества, не менѣе того количество. Большая часть сочинителей Ариѳметикъ упускаютъ изъ виду эту точку зрѣнія, между тѣмъ какъ чрезъ нее можно дать другія опредѣленія количеству и единицѣ, болѣе поясняющія ихъ важность и общность въ природѣ. По моему мнѣнію, собраніе предметовъ, имѣющихъ одно или нѣсколько общихъ свойствъ, составляетъ количество; свойство или свойства общія предметамъ и относительно которыхъ предметы сравниваются, составляютъ единицу; слѣдствіе сравненія количества съ единицею, по прежнему, число.
При этихъ только опредѣленіяхъ, я могу сказать, что муха, человѣкъ и слонъ составляютъ, при всей своей разнообразности, количество, называемое три животныя; я сравниваю эти предметы относительно общаго имъ качества, — жизни. — Здѣсь жизнь, — единица, а число три, — слѣдствіе сравненія. Въ томъ же смыслѣ, обыкновенно говоримъ, что аршинъ, фунтъ, ведро и часъ суть четыре мѣры.
Изъ всего сказаннаго заключимъ, что числа сами собою, независимо отъ предметовъ, ими выражаемыхъ, не существуютъ; они лишь существуютъ умственно и могутъ быть разсматриваемы какъ собранія единицъ. Число показываетъ, сколько предметовъ въ собраніи, и не говоритъ о качествѣ общемъ предметамъ; назвавъ же предметы, мы опредѣлимъ общія имъ качества, и тогда число въ совокупности съ этими качествами или единицею составитъ количество извѣстнаго рода. Но какъ мы вольны собрать то же число предметовъ, но съ другими общими качествами, то есть, тѣмъ же числомъ выразить другаго рода количество, то заключимъ, что числа способны изображать всѣхъ родовъ количества. Поэтому должно изучать числа независимо отъ предметовъ. Такія числа называются отвлеченными. Вотъ матеріалы для анализа! — Отвлеченныя числа обращаются въ количества извѣстныхъ родовъ, если выражаютъ собранія опредѣленныхъ предметовъ. Напримѣръ, просто семь есть отвлеченное число, между тѣмъ какъ
