Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/25

в $B_{1}$ то их существует и бесконечное множество, потому что все бесконечное множество чисел, лежащих между $a_{1}'$ и $a_{1}''$ (§ 1,II), содержится, очевидно, в $A_{1}$ но не в $B_{1}$. Два числа $\alpha$ и $\beta$, соответствующие в этом случае существенно различным сечениям $(A_{1},A_{2})$ и $(B_{1},B_{2})$, мы также назовем различными, а именно скажем, что $\alpha$ больше, чем $\beta$, что $\beta$ меньше, чем $\alpha$, и выразим это в знаках как через $\alpha >\beta$, так и через $\beta <\alpha$. Здесь следует иметь в виду, что это опреде­ление вполне совпадает с прежним, когда оба числа $\alpha$ и $\beta$ были рациональными.

Остаются еще следующие возможные случаи: если 4) в $B_{1}$ содержится одно и только одно число $b_{1}=a'_{2}$, не содержащееся в $A_{1}$ то оба сечения $(A_{1},A_{2})$ и $(B_{1},B_{2})$ только несущественно различны и производятся одним и тем же числом $\alpha =a_{2}'=b_{1}'=\beta$. Если же 5) в $B_{1}$ есть, по крайней мере, два различных числа, не содержащихся в $A_{1}$, то $\beta >\alpha$, $\alpha <\beta$

Так как этим исчерпываются все случаи, то заключаем, что из двух различных чисел одно необходимо окажется большим, другое меньшим: здесь два возможных случая. Тре­тий случай невозможен. Это заключалось уже в употре­блении сравнительной степени (больше, меньше) для выра­жения отношения между $\alpha$ и $\beta$; но только теперь выбор та­кого выражения вполне оправдан. Именно при изысканиях такого рода необходимо самым заботливым образом остере­гаться, чтобы, даже при всем желании быть честным, не увлечься и не сделать непозволительных перенесений из одной области в другую из-за поспешного выбора выраже­ний, относящихся к другим, уже развитым представлениям.

Если снова точно обсудим случай $\alpha >\beta$, то найдем, что меньшее число $\beta$ в том случае, когда оно рациональное наверно принадлежит к классу $A_{1}$. Действительно, так как в $A_{1}$ есть число $a_{1}'=b_{2}'$, принадлежащее к классу $B_{2}$, то независимо от того, будет ли $\beta$ наибольшим числом в $B_{1}$ или наименьшим в $B_{2}$, наверное имеем $\beta \leq a_{1}'$ и, следовательно, $\beta$ содержится в $A_{1}$. Точно так же из $\alpha >\beta$ выводится, что большее число $\alpha$, когда оно рациональное, непременно содержится в $B_{2}$, ибо $\alpha \geq a_{1}'$. Соединяя оба соображения