между двумя какими-либо сечениями и , производимыми какими угодно двумя числами и .
Всякое сечение , очевидно, дано вполне уже в том случае, когда мы знаем один из двух классов, например, первый класс потому что второй состоит из всех рациональных чисел, не заключающихся в классе ;
характерной же особенностью этого первого класса является то, что, заключая в себе какое-либо число он содержит и все числа, меньшие .
Если теперь сравнить два первых класса этого рода и то может случиться,
1) что они вполне тождественны, т. е. каждое число, содержащееся в содержится также и в и каждое число, содержащееся в содержится и в . В этом случае необходимо тождественно с ;
оба сечения вполне тождественны, что мы знаками выражаем через , или .
Но если два класса и не тождественны, то в одном, например, в есть число , не содержащееся в классе и заключающееся, следовательно, в ;
поэтому, все числа , заключающиеся в несомненно, будут меньше, чем это число ,
следовательно, все числа за
ключаются и в .
Если же 2) это число будет единственным числом
в , не входящим в , то всякое другое число , содержащееся в будет содержаться и в , а потому меньше , т. е. есть наибольшее между числами ; поэтому сечение производится рациональным числом
Относительно второго сечения мы уже знаем, что все числа класса содержатся и в а потому они меньше, чем число , которое содержится в ;
всякое же другое число содержащееся в , должно быть, больше, чем , потому что иначе было бы также меньше, чем , и заключалось бы в а следователельно и в .
Таким образом, есть наименьшее между числами, содержащимися в ;
следовательно, и сечение производится тем же рациональным числом .
Оба сечения поэтому несущественно равличны.
Но если 3) в есть, по крайней мере два различных
рациональных числа и не содержащихся