стигаем самым совершенным образом, когда вводим понятие о переменных величинах, о функциях, о пределах. Всего целесообразнее было бы основать на этих понятиях определения даже простейших арифметических операций, что здесь, однако, не может быть дальше проведено.
§ 7. Анализ бесконечных
В заключение мы уясним себе зависимость между при веденными до сих пор соображениями и основными поло жениями анализа бесконечных.
Говорят, что переменная величина , пробегающая последовательные определенные численные значения, приближается к постоянному пределу , если она в ходе процесса изменения окончательно[1] заключается между каждыми двумя числами, между которыми а само лежит, или, что то же, если разность , взятая абсолютно, окончательно опускается ниже всякого данного значения, отличного от нуля.
Одно из важнейших предложений гласит так: „Если величина возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, то она приближается к некоторому пределу“.
Я доказываю это предложение следующим образом: по предположению, существует одно, а следовательно, и бесчисленное множество чисел такого рода, что постоянно остается . Я обозначаю через систему всех этих чисел и через систему всех остальных чисел ; каждое из последних имеет то свойство, что впродолжение процесса изменения имеем окончательно ; поэтому каждое число меньше каждого числа и, следовательно, существует число , которое представляет собою или наибольшее в , или наименьшее в (§ 5, IV). Первого быть не может, ибо никогда не перестает возрастать, поэтому а есть наименьшее число в .
Какое бы число мы ни взяли,
- ↑ Автор употребляет слово „definitive“ = „определенно, решительно, окончательно“ в том смысле, что, приобретя какое-либо свойство в определенный момент своего изменения, переменная величина удерживает это свойство в продолжение всего остального хода процесса. Примеч. переводчика.