стороны от него, то представляется выгодным присоединить к прежним символам новые символы — отрицательные числа.
Мы не будем больше говорить об этом. Укажем только, что введение новых символов может обусловливаться не объективными свойствами вещей, к которым мы обыкновенно эти символы относим, а стремлением подчинить старые символы некоторым новым требованиям, несовместимым с теми свойствами этих символов, которые служили им определениями. Так, например, когда мы располагаем только тем рядом знаков, который мы называем системой рациональных чисел, и ищем число (конечно, рациональное, ибо других чисел мы еще не установили), которого квадрат равен данному положительному числу , то оказывается, что для не которых это число существует, для других же его совсем нет, т. е. бывает так, что среди символов — рациональных чисел — нет такого, квадрат которого равен . Мы можем в этом случае ввести в наши исследования новый символ, квадрат которого равен , можем назвать и этот символ числом, например, радикальным числом, можем его обозначить через , , или как-нибудь иначе. Можем всего этого и не делать. В последнем случае устанавливаем такую теорему: не которые положительные числа имеют, другие не имеют квадратных корней; если же знаки квадратных корней из положительных чисел введены, то будем иметь такую теорему: каждое положительное число имеет квадратный корень. Обе теоремы верны, ибо в последней подразумевается, что те положительные числа, которые не имеют корней среди старых символов, имеют корни среди новых.
У самого Дедекивда определение числа, как символа, нигде явно не высказано, но такое определение числа явно вытекает из рассуждений, изложенных в другом его сочи нении: Was sind und was sollen die Zahlen. По нашему мнению, существенно важно знать, что на иррациональные числа (так же, как и на всякие другие) можно смотеть, как на чистые знаки, которые могут быть и дейсвительно бывают весьма полезны, между прочим, по той причине, что этими знаками удобно выражаются реальные свойства вещей.
