Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/29

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


такъ какъ всѣ элементы послѣдняго комплекса въ этомъ случаѣ принадлежатъ комплексу (п. 10).

Мы будемъ называть комплексъ совокупность натуральныхъ чиселъ, которыя больше числа . Если есть число комплекса , то мы будемъ говорить, что число „ больше числа “ и будемъ выражать это въ знакахъ такъ:

.

Въ этой терминологiи предложенiя п. п. 9, 10 и 11 могутъ быть выражены такъ:

9*. Число не больше числа .

10*. Если число больше числа , а число больше числа , то число больше числа .

11*. Если число больше числа , то число не больше числа .

12. Каждое натуральное число , за исключенiемъ , можетъ быть получено изъ нѣкотораго опредѣленнаго натуральнаго числа прибавленiемъ къ нему единицы, т. е. существуетъ опредѣленное такое число , что . Это число мы будемъ обозначать символомъ .

Чтобы доказать высказанное утвержденiе, обозначимъ черезъ комплексъ, содержащiй всѣ числа вида , гдѣ есть натуральное число. Въ составъ этого комплекса входитъ число , т. е. ; кромѣ того, если число входитъ въ составъ этого комплекса, то въ немъ содержится и число . Слѣдовательно, комплексъ удовлетворяетъ требованiямъ α') и β') п. 6 при , и потому представляетъ собой комплексъ ; такимъ образомъ комплексъ , входитъ въ составъ комплекса . Но съ другой стороны, каждое число комплекса входитъ въ составъ комплекса , ибо послѣднiй содержитъ всѣ натуральныя числа, кромѣ ; вслѣдствiе этого комплексы и совпадаютъ.

Итакъ, каждое число комплекса , можетъ быть представлено въ видѣ . Что же касается того, что данному числу отвѣчаетъ только одно число , то это вытекаетъ изъ предложенiя § 2, 7; въ самомъ дѣлѣ, согласно этому предложенiю, если представляетъ собой комплексъ мощности и есть какой либо элементъ этого комплекса, то всѣ комплексы имѣютъ одинаковую мощность.



Тот же текст в современной орфографии


так как все элементы последнего комплекса в этом случае принадлежат комплексу (п. 10).

Мы будем называть комплекс совокупность натуральных чисел, которые больше числа . Если есть число комплекса , то мы будем говорить, что число « больше числа » и будем выражать это в знаках так:

.

В этой терминологии предложения п. п. 9, 10 и 11 могут быть выражены так:

9*. Число не больше числа .

10*. Если число больше числа , а число больше числа , то число больше числа .

11*. Если число больше числа , то число не больше числа .

12. Каждое натуральное число , за исключением , может быть получено из некоторого определённого натурального числа прибавлением к нему единицы, т. е. существует определённое такое число , что . Это число мы будем обозначать символом .

Чтобы доказать высказанное утверждение, обозначим через комплекс, содержащий все числа вида , где есть натуральное число. В состав этого комплекса входит число , т. е. ; кроме того, если число входит в состав этого комплекса, то в нём содержится и число . Следовательно, комплекс удовлетворяет требованиям α') и β') п. 6 при , и потому представляет собой комплекс ; таким образом комплекс , входит в состав комплекса . Но с другой стороны, каждое число комплекса входит в состав комплекса , ибо последний содержит все натуральные числа, кроме ; вследствие этого комплексы и совпадают.

Итак, каждое число комплекса , может быть представлено в виде . Что же касается того, что данному числу отвечает только одно число , то это вытекает из предложения § 2, 7; в самом деле, согласно этому предложению, если представляет собой комплекс мощности и есть какой-либо элемент этого комплекса, то все комплексы имеют одинаковую мощность.



§ 4. Теорема о совершенной индукцiи.

На этомъ точномъ опредѣленiи натуральнаго ряда чиселъ покоится предложенiе, представляющее собой одно изъ наиболѣе важныхъ и плодотворныхъ средствъ для познаванiя математическихъ истинъ; это есть



Тот же текст в современной орфографии


§ 4. Теорема о совершенной индукции.

На этом точном определении натурального ряда чисел покоится предложение, представляющее собой одно из наиболее важных и плодотворных средств для познавания математических истин; это есть