Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/28

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


представляетъ собой комплексъ . Съ другой стороны, комплексъ содержится въ каждомъ комплексѣ ; дѣйствительно, есть комплексъ (п. 6), и потому содержитъ комплексъ ; слѣдовательно, комплексъ содержитъ , т. е. . Изъ сказаннаго вытекаетъ, что .

9. Число не содержится въ комплексѣ .

Действительно, обозначимъ черезъ комплексъ чиселъ , удовлетворяющихъ требованiю, что комплексъ не содержитъ числа ; въ такомъ случаѣ, согласно п. 7, число входитъ въ составъ комплекса . Съ другой стороны, въ виду п. 8, если въ составъ комплекса входитъ число , то въ его составъ входитъ также число . Вслѣдствiе этого комплексъ представляетъ собой комплексъ , и потому содержитъ въ себе натуральный рядъ (п. 4). А такъ какъ индексъ въ обозначенiи комплекса , согласно определенiю (п. 6), есть натуральное число, то оно входитъ въ составъ комплекса , т. е. комплексъ , не содержитъ числа .

10. Если число содержится въ комплексѣ , то комплексъ содержится въ комплексѣ .

Дѣйствительно, если комплексъ содержитъ число , то онъ содержитъ также число ; а такъ какъ онъ удовлетворяетъ также условiю β'), то онъ при этихъ условiяхъ представляетъ собой комплексь , и потому содержитъ въ себѣ комплексъ (п. 6).

11. Если число содержится въ комплексѣ , то число не содержится въ комплексе .

Согласно п. 9, число не содержится въ комплексѣ ; поэтому, при условiяхъ заданiя, оно не можетъ содержаться и въ комплексѣ ,



Тот же текст в современной орфографии


представляет собой комплекс . С другой стороны, комплекс содержится в каждом комплексе ; действительно, есть комплекс (п. 6), и потому содержит комплекс ; следовательно, комплекс содержит , т. е. . Из сказанного вытекает, что .

9. Число не содержится в комплексе .

Действительно, обозначим через комплекс чисел , удовлетворяющих требованию, что комплекс не содержит числа ; в таком случае, согласно п. 7, число входит в состав комплекса . С другой стороны, ввиду п. 8, если в состав комплекса входит число , то в его состав входит также число . Вследствие этого комплекс представляет собой комплекс , и потому содержит в себе натуральный ряд (п. 4). А так как индекс в обозначении комплекса , согласно определению (п. 6), есть натуральное число, то оно входит в состав комплекса , т. е. комплекс , не содержит числа .

10. Если число содержится в комплексе , то комплекс содержится в комплексе .

Действительно, если комплекс содержит число , то он содержит также число ; а так как он удовлетворяет также условию β'), то он при этих условиях представляет собой комплексь , и потому содержит в себе комплекс (п. 6).

11. Если число содержится в комплексе , то число не содержится в комплексе .

Согласно п. 9, число не содержится в комплексе ; поэтому, при условиях задания, оно не может содержаться и в комплексе ,

нечно, нарушили это условiе. Но дѣло въ томъ, что такое число не только не входитъ въ составъ комплекса , но не введено вовсе опредѣленiемъ п. 1, ибо его представителемъ долженъ былъ бы служить комплексъ, не имѣющiй вовсе элементовъ, а это противорѣчитъ понятiю о комплексѣ.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что комплексъ удовлетворяетъ обоимъ требованiямъ, т. е. представляетъ собой комплексъ . Такъ какъ комплексъ входитъ въ составь всякаго комплекса (п. 6), то входитъ въ составъ комплекса .

Съ другой стороны, можно показать, что входитъ въ составъ каждаго комплекса ; допустимъ, дѣйствительно, что есть комплексъ , въ составъ котораго не входитъ; но въ такомъ случаѣ комплексъ не входилъ бы въ составъ комплекса (см. предыд. примѣчанiе), а это противорѣчитъ опредѣленiю натуральнаго ряда . Итакъ, комплексъ входитъ въ составъ всякаго комплекса , а потому входитъ въ составъ , согласно опредѣленiю этого комплекса. Такъ какь входитъ также въ составъ , то , а потому комплексъ не содержитъ числа .

Понявъ всѣ детали доказательства настоящаго пункта, уже нетрудно уяснить себѣ доказательства п. п 8 и 9.

нечно, нарушили это условие. Но дело в том, что такое число не только не входит в состав комплекса , но не введено вовсе определением п. 1, ибо его представителем должен был бы служить комплекс, не имеющий вовсе элементов, а это противоречит понятию о комплексе.

Из сказанного следует, что комплекс удовлетворяет обоим требованиям, т. е. представляет собой комплекс . Так как комплекс входит в составь всякого комплекса (п. 6), то входит в состав комплекса .

С другой стороны, можно показать, что входит в состав каждого комплекса ; допустим, действительно, что есть комплекс , в состав которого не входит; но в таком случае комплекс не входил бы в состав комплекса (см. предыд. примечание), а это противоречит определению натурального ряда . Итак, комплекс входит в состав всякого комплекса , а потому входит в состав , согласно определению этого комплекса. Так какь входит также в состав , то , а потому комплекс не содержит числа .

Поняв все детали доказательства настоящего пункта, уже нетрудно уяснить себе доказательства п. п 8 и 9.