Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/27

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

§2 это можно выразить слѣдующимъ образомъ:

[1]

Основываясь на этомъ, легко доказать слѣдующее предложенiе.

7. Число не содержится въ комплексѣ . Обозначимъ черезъ числовой комплексъ, который образуется изъ комплекса , если удалить изъ него число , т. е. положимъ . Въ такомъ случаѣ комплексъ удовлетворяетъ условiямъ α') и β') предыдущаго пункта при , и потому представляетъ собой комплексъ . Съ другой стороны, комплексъ содержится во всякомъ комплексѣ ; въ самомъ дѣлѣ, если къ какому-либо комплексу присоединимъ число , то получимъ комплексъ ; если бы поэтому существовалъ такой комплексъ , въ которомъ не содержался бы комплексъ , то присоединивъ къ нему , мы получили бы такой комплексъ , въ которомъ не содержался бы комплексъ , — что противорѣчитъ опредѣленiю натуральнаго ряда [2].

8. Если число не содержится въ комплексѣ , то число не содержится въ комплексѣ .

Въ самомъ дѣлѣ, если число не входитъ въ составъ комплекса , то оно не входитъ также въ составъ комплекса ; поэтому комплексъ удовлетворяетъ требованiямъ α'') и β''), a потому


Тот же текст в современной орфографии

§2 это можно выразить следующим образом:

[3]

Основываясь на этом, легко доказать следующее предложение.

7. Число не содержится в комплексе . Обозначим через числовой комплекс, который образуется из комплекса , если удалить из него число , т. е. положим . В таком случае комплекс удовлетворяет условиям α') и β') предыдущего пункта при , и потому представляет собой комплекс . С другой стороны, комплекс содержится во всяком комплексе ; в самом деле, если к какому-либо комплексу присоединим число , то получим комплекс ; если бы поэтому существовал такой комплекс , в котором не содержался бы комплекс , то присоединив к нему , мы получили бы такой комплекс , в котором не содержался бы комплекс , — что противоречит определению натурального ряда [4].

8. Если число не содержится в комплексе , то число не содержится в комплексе .

В самом деле, если число не входит в состав комплекса , то оно не входит также в состав комплекса ; поэтому комплекс удовлетворяет требованиям α'') и β''), a потому

  1. Прибавимъ къ этому еще слѣдующее: если какой-либо комплексъ содержитъ число , то онъ представляетъ собой также комплексъ ; если же въ немъ нѣтъ числа , то достаточно присоединить число , чтобы получить комплексъ . Дѣйствительно, условiе α) пункта 4 выполняется присоединенiемъ числа , условiе же β), присущее и комплексу , этимъ не нарушается, такъ какъ число имѣется и въ комплексѣ . Въ обозначенiяхъ § 2 это можно выразить такъ:

    (ибо, если входитъ въ составъ комплекса , то комплексъ совпадаетъ съ комплексомъ )

  2. Пункты 7—9 въ первоначальной редакцiи содержали погрѣшность; вслѣдствiе этого авторъ опубликовалъ позже исправленный текстъ, съ котораго и сдѣланъ переводъ; исправленный текстъ, однако, изложенъ очень сжато, и мы считаемъ нужнымъ его пояснить.

    Авторъ хочетъ прежде всего показать, что есть комплексъ , для этого ему нужно обнаружить, что, во первыхъ, въ составъ комплекса входитъ число , во вторыхъ, если въ составъ комплекса входитъ число , то въ его составъ входитъ число .

    Въ составъ комплекса число входитъ; поэтому въ составъ его входитъ также и число (п. 4); такъ какъ изъ комплекса удалено только число то число въ комплексѣ осталось; первое требованiе, слѣдовательно, выполнено.

    Обращаемся теперь ко второму требованiю; комплексъ этому требованiю удовлетворяетъ. Если бы въ составъ комплекса входило число , удовлетворяющее условію , то, устраняя изъ него число и сохраняя число , мы бы, ко-

  3. Прибавим к этому ещё следующее: если какой-либо комплекс содержит число , то он представляет собой также комплекс ; если же в нём нет числа , то достаточно присоединить число , чтобы получить комплекс . Действительно, условие α) пункта 4 выполняется присоединением числа , условие же β), присущее и комплексу , этим не нарушается, так как число имеется и в комплексе . В обозначениях § 2 это можно выразить так:

    (ибо, если входит в состав комплекса , то комплекс совпадает с комплексом )

  4. Пункты 7—9 в первоначальной редакции содержали погрешность; вследствие этого автор опубликовал позже исправленный текст, с которого и сделан перевод; исправленный текст, однако, изложен очень сжато, и мы считаем нужным его пояснить.

    Автор хочет прежде всего показать, что есть комплекс , для этого ему нужно обнаружить, что, во-первых, в состав комплекса входит число , во-вторых, если в состав комплекса входит число , то в его состав входит число .

    В состав комплекса число входит; поэтому в состав его входит также и число (п. 4); так как из комплекса удалено только число то число в комплексе осталось; первое требование, следовательно, выполнено.

    Обращаемся теперь ко второму требованию; комплекс этому требованию удовлетворяет. Если бы в состав комплекса входило число , удовлетворяющее условию , то, устраняя из него число и сохраняя число , мы бы, ко-