Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/26

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

число , то въ немъ содержится также число . Эти числа мы будемъ называть натуральными числами.

5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если есть натуральное число, то оно отлично отъ числа . Въ самомъ дѣлѣ, комплексъ всѣхъ конечныхъ чиселъ, согласно пункту 3, удовлетворяетъ условiямъ α) и β) [1]. Слѣдовательно, представляетъ собой одинъ изъ комплексовъ ; поэтому входитъ въ составъ комплекса , т. е. каждое число комплекса конечно.

Справедливо ли также обратное предложенiе, т. е. фигурируетъ-ли каждое конечное число въ натуральномъ рядѣ, — это вопросъ, рѣшенiе котораго мы вынуждены еще отложить.

При помощи натуральнаго ряда чиселъ мы выдѣлимъ частные числовые комплексы слѣдующимъ образомъ:

6. Пусть будетъ натуральное число; мы будемъ обозначать символомъ числовой комплексъ, удовлетворяющiй слѣдующимъ двумъ требованiямъ:

α') Число входитъ въ составъ комплекса .

β') Если въ составъ комплекса входитъ число , то въ его составъ входитъ также число .

Этимъ требованiямъ удовлетворяетъ самый натуральный рядъ ; но имъ удовлетворяютъ и другiе числовые комплексы; каждый такой комплексъ, какъ сказано, мы будемъ обозначать символомъ . Теперь мы опредѣлимъ комплексъ , какъ пересеченiе всѣхъ комплексовъ . Въ такомъ случаѣ комплексъ содержится въ каждомъ комплексѣ .

Согласно этому, комплексъ опредѣляется слѣдующими свойствами:

α'') Число фигурируетъ въ комплексѣ .

β'') Если число содержится въ комплексѣ , то въ немъ содержится также и число .

(Для краткости мы здѣсь пишемъ вместо .)

Отсюда слѣдуетъ, что каждый комплексъ представляетъ собой также комплексъ . Если-же комплексъ содержитъ число , то онъ представляетъ собой въ то же время комплексъ ; но если комплексъ числа не содержитъ, то къ нему достаточно присоединить число , чтобы получить комплексъ . Въ обозначенiяхъ


Тот же текст в современной орфографии

число , то в нём содержится также число . Эти числа мы будем называть натуральными числами.

5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если есть натуральное число, то оно отлично от числа . В самом деле, комплекс всех конечных чисел, согласно пункту 3, удовлетворяет условиям α) и β) [2]. Следовательно, представляет собой один из комплексов ; поэтому входит в состав комплекса , т. е. каждое число комплекса конечно.

Справедливо ли также обратное предложение, т. е. фигурирует ли каждое конечное число в натуральном ряде, — это вопрос, решение которого мы вынуждены ещё отложить.

При помощи натурального ряда чисел мы выделим частные числовые комплексы следующим образом:

6. Пусть будет натуральное число; мы будем обозначать символом числовой комплекс, удовлетворяющий следующим двум требованиям:

α') Число входит в состав комплекса .

β') Если в состав комплекса входит число , то в его состав входит также число .

Этим требованиям удовлетворяет самый натуральный ряд ; но им удовлетворяют и другие числовые комплексы; каждый такой комплекс, как сказано, мы будем обозначать символом . Теперь мы определим комплекс , как пересечение всех комплексов . В таком случае комплекс содержится в каждом комплексе .

Согласно этому, комплекс определяется следующими свойствами:

α'') Число фигурирует в комплексе .

β'') Если число содержится в комплексе , то в нём содержится также и число .

(Для краткости мы здесь пишем вместо .)

Отсюда следует, что каждый комплекс представляет собой также комплекс . Если же комплекс содержит число , то он представляет собой в то же время комплекс ; но если комплекс числа не содержит, то к нему достаточно присоединить число , чтобы получить комплекс . В обозначениях

  1. Дѣйствительно, , какъ конечное число, фигурируетъ въ комплексѣ ; кромѣ того, если есть конечное число, то и есть конечное число, т. е. если фигурируетъ въ комплексѣ , то въ немъ фигурируетъ также число .
  2. Действительно, , как конечное число, фигурирует в комплексе ; кроме того, если есть конечное число, то и есть конечное число, т. е. если фигурирует в комплексе , то в нём фигурирует также число .