Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/25

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


Не исключена, однако, возможность, что комплексы и имѣютъ одинаковую мощность, такъ что и выражаютъ одно и то же число.

3. Если число отлично оть , то оно называется конечнымъ числомъ. Если-же число совпадаетъ съ числомъ , то оно называется безконечнымъ числомъ[1]. Число есть конечное число. Мы апеллируемъ при этомъ къ очевидности, что два объекта (напр. ) не могутъ быть однозначно сопряжены съ однимъ объектомъ (). Число или , такимъ образомъ отлично отъ .

Если число конечно, то и число конечно.

Это слѣдуетъ непосредственно изъ предложенiя § 2,7.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть комплексы , , будутъ представители чиселъ , , ; если бы комплексы и имѣли одинаковую мощность, то въ силу названнаго предложенiя комплексы и также имѣли бы одинаковую мощность, т. е. не было бы конечнымъ числомъ.

4. Теперь мы займемся особыми комплексами , элементами которыхъ служатъ числа (числовыми комплексами); именно, мы будемъ обозначать символомъ комплексы, обладающiе слѣдующими двумя свойствами:

α) Число содержится въ комплексѣ .

β) Если въ комплексѣ содержится число , то въ немъ содержится и число .

Эти два свойства во всякомъ случаѣ принадлежатъ комплексу, содержащему всѣ числа. Но существуютъ и другiе числовые комплексы, обладающiе этими свойствами.

Мы опредѣлимъ теперь натуральный рядъ чиселъ , какъ пересѣченiе всѣхъ комплексовъ , обладающихъ свойствами α) и β). Иными словами, мы введемъ въ составъ комплекса тѣ и только тѣ числа, которыя фигурируютъ во всѣхъ комплексахъ .

Согласно этому опредѣленiю, число во всякомъ случаѣ фигурируетъ въ комплексѣ . Кромѣ того, если въ комплексѣ содержится


Тот же текст в современной орфографии

Не исключена, однако, возможность, что комплексы и имеют одинаковую мощность, так что и выражают одно и то же число.

3. Если число отлично оть , то оно называется конечным числом. Если же число совпадает с числом , то оно называется бесконечным числом[2]. Число есть конечное число. Мы апеллируем при этом к очевидности, что два объекта (напр. ) не могут быть однозначно сопряжены с одним объектом (). Число или , таким образом отлично от .

Если число конечно, то и число конечно.

Это следует непосредственно из предложения § 2,7.

В самом деле, пусть комплексы , , будут представители чисел , , ; если бы комплексы и имели одинаковую мощность, то в силу названного предложения комплексы и также имели бы одинаковую мощность, т. е. не было бы конечным числом.

4. Теперь мы займёмся особыми комплексами , элементами которых служат числа (числовыми комплексами); именно, мы будем обозначать символом комплексы, обладающие следующими двумя свойствами:

α) Число содержится в комплексе .

β) Если в комплексе содержится число , то в нём содержится и число .

Эти два свойства во всяком случае принадлежат комплексу, содержащему все числа. Но существуют и другие числовые комплексы, обладающие этими свойствами.

Мы определим теперь натуральный ряд чисел , как пересечение всех комплексов , обладающих свойствами α) и β). Иными словами, мы введём в состав комплекса те и только те числа, которые фигурируют во всех комплексах .

Согласно этому определению, число во всяком случае фигурирует в комплексе . Кроме того, если в комплексе содержится

  1. Представимъ себѣ неопредѣленный рядъ точекъ на прямой линiи … , слѣдующихъ другъ за другомъ на одномъ и томъ же разстоянiи одна отъ другой. Обозначимъ черезъ соотвѣтствующее этому комплексу число. Отъ точки съ противоположной стороны на томъ же разстоянiи нанесемъ точку . Если мы присоединимъ ее къ прежнему комплексу, то получимъ новый комплексъ, которому соотвѣтствуетъ число . Легко показать, что въ этомъ случаѣ новый комплексъ имѣетъ ту же мощность, что и первоначальный. Дѣйствительно, если мы отнесемъ точку точкѣ , точку точкѣ , точку точкѣ , вообще, отнесемъ каждую точку слѣдующей точкѣ, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между первоначальнымъ и новымъ комплексомъ. Въ данномъ случаѣ число совпадаетъ съ , и потому есть безконечное число.
  2. Представим себе неопределённый ряд точек на прямой линии … , следующих друг за другом на одном и том же расстоянии одна от другой. Обозначим через соответствующее этому комплексу число. От точки с противоположной стороны на том же расстоянии нанесём точку . Если мы присоединим её к прежнему комплексу, то получим новый комплекс, которому соответствует число . Легко показать, что в этом случае новый комплекс имеет ту же мощность, что и первоначальный. Действительно, если мы отнесём точку точке , точку точке , точку точке , вообще, отнесём каждую точку следующей точке, то этим будет установлено однозначное соответствие между первоначальным и новым комплексом. В данном случае число совпадает с , и потому есть бесконечное число.