Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/24

Эта страница была вычитана

(§ 2, 3), одинаковую мощность, въ одну систему, въ одну категорiю; такого рода категорiи, вслѣдствiе присущей имъ большой общности, находятъ себѣ широкое примѣненiе. Эти категорiи называются числами. Наименованiя, которыя они получаютъ, суть названiя чиселъ, а знаки, которыми они обозначаются на письмѣ, называются цифрами. Если $a$ есть знакъ или названiе такого рода категорiи, въ составъ которой входитъ комплексъ $A$ , то говорятъ, что $a$ есть число элементовъ комплекса $A$ или, что комплексъ $A$ состоитъ изъ $a$ элементовъ, или короче, что $a$ есть число комплекса $A$ , или $a$ есть значенiе этого числа, или наконецъ, что комплексъ $A$ имѣетъ мощность $a$ ^[1].

Каждое число вполнѣ опредѣляется однимъ комплексомъ, принадлежащимъ соотвѣтствующей категорiи; такой комплексъ мы будемъ называть представителемъ этой категорiи.

Съ этой точки зрѣнiя числа не представляютъ собой бессодержательныхъ символовъ, надъ которыми мы оперируемъ по произвольно созданнымъ правиламъ; это есть содержательное родовое понятiе, къ которому мы были приведены практическими потребностями нашего духа и его отношенiемъ къ внѣшнему міру^[2].

Всѣ комплексы, состоящiе только изъ одного элемента, имѣютъ одинаковую мощность; они образуютъ одну категорiю, число которой называется „одинъ“ и обозначается символомъ „1“.

2. Если $a$ есть число комплекса $A$ и $\alpha$ представляетъ собой элементъ, не входящiй въ составъ комплекса $A$ , то мы будемъ обозначать число комплекса $A+\alpha$ символомъ $a+1$ . Это число $a+1$ не мѣняется, если мы замѣнимъ комплексъ $A$ другимъ представителемъ числа или элементъ $\alpha$ другимъ элементомъ, не входящимъ въ составъ комплекса $A$ (§ 2, 6).

↑ Въ примѣчанiи 3 мы разсматривали комплексъ $A$ , состоящiй изъ элементовъ $a,b,c,d$ . Всѣ комплексы, имѣющiе ту же мощность, объединяются въ одну категорiю, которой даютъ названiе „четыре“, и говорятъ, что такой комплексъ состоитъ изъ четырехъ элементовъ или, что четыре есть число этого комплекса. Такимъ же образомъ и другiе комплексы распредѣляются въ категорiи, объединяющiя комплексы одинаковой мощности; съ каждой такой категорiей соединяютъ особое понятiе — ея число, именуемое особымъ названiемъ. Съ этой точки зрѣнiя и совокупность прямолинейныхъ отрѣзковъ представляетъ собой такую категорiю (§ 2, 2). Если мы будемъ обозначать черезъ $\omega$ соотвѣтствующее ей число, то выраженiе: „комплексъ $A$ имѣетъ $\omega$ элементовъ“, будетъ означать, что комплексъ $A$ имѣетъ ту же мощность, что и прямолинейный отрѣзокъ, или иначе, что элементы этого комплекса могутъ быть сопряжены однозначнымъ соотвѣтствiемъ съ точками прямолинейнаго отрѣзка.
↑ Авторъ намекаетъ здѣсь на другую систему построенiя основъ ариѳметики, съ точки зрѣнiя которой числа представляютъ собой не болѣе какъ символы, надъ которыми по опредѣленнымъ формальнымъ законамъ совершаются операцiи. Нужно сказать, что эта вторая теорія имѣетъ свои серьезныя достоинства.

Тот же текст в современной орфографии

(§ 2, 3), одинаковую мощность, в одну систему, в одну категорию; такого рода категории, вследствие присущей им большой общности, находят себе широкое применение. Эти категории называются числами. Наименования, которые они получают, суть названия чисел, а знаки, которыми они обозначаются на письме, называются цифрами. Если $a$ есть знак или название такого рода категории, в состав которой входит комплекс $A$ , то говорят, что $a$ есть число элементов комплекса $A$ или, что комплекс $A$ состоит из $a$ элементов, или короче, что $a$ есть число комплекса $A$ , или $a$ есть значение этого числа, или наконец, что комплекс $A$ имеет мощность $a$ ^[1].

Каждое число вполне определяется одним комплексом, принадлежащим соответствующей категории; такой комплекс мы будем называть представителем этой категории.

С этой точки зрения числа не представляют собой бессодержательных символов, над которыми мы оперируем по произвольно созданным правилам; это есть содержательное родовое понятие, к которому мы были приведены практическими потребностями нашего духа и его отношением к внешнему миру^[2].

Все комплексы, состоящие только из одного элемента, имеют одинаковую мощность; они образуют одну категорию, число которой называется «один» и обозначается символом «1».

2. Если $a$ есть число комплекса $A$ и $\alpha$ представляет собой элемент, не входящий в состав комплекса $A$ , то мы будем обозначать число комплекса $A+\alpha$ символом $a+1$ . Это число $a+1$ не меняется, если мы заменим комплекс $A$ другим представителем числа или элемент $\alpha$ другим элементом, не входящим в состав комплекса $A$ (§ 2, 6).

↑ В примечании 3 мы рассматривали комплекс $A$ , состоящий из элементов $a,b,c,d$ . Все комплексы, имеющие ту же мощность, объединяются в одну категорию, которой дают название «четыре», и говорят, что такой комплекс состоит из четырех элементов или, что четыре есть число этого комплекса. Таким же образом и другие комплексы распределяются в категории, объединяющие комплексы одинаковой мощности; с каждой такой категорией соединяют особое понятие — её число, именуемое особым названием. С этой точки зрения и совокупность прямолинейных отрезков представляет собой такую категорию (§ 2, 2). Если мы будем обозначать через $\omega$ соответствующее ей число, то выражение: «комплекс $A$ имеет $\omega$ элементов», будет означать, что комплекс $A$ имеет ту же мощность, что и прямолинейный отрезок, или иначе, что элементы этого комплекса могут быть сопряжены однозначным соответствием с точками прямолинейного отрезка.
↑ Автор намекает здесь на другую систему построения основ арифметики, с точки зрения которой числа представляют собой не более как символы, над которыми по определённым формальным законам совершаются операции. Нужно сказать, что эта вторая теория имеет свои серьёзные достоинства.

[1] Въ примѣчанiи 3 мы разсматривали комплексъ $A$ , состоящiй изъ элементовъ $a,b,c,d$ . Всѣ комплексы, имѣющiе ту же мощность, объединяются въ одну категорiю, которой даютъ названiе „четыре“, и говорятъ, что такой комплексъ состоитъ изъ четырехъ элементовъ или, что четыре есть число этого комплекса. Такимъ же образомъ и другiе комплексы распредѣляются въ категорiи, объединяющiя комплексы одинаковой мощности; съ каждой такой категорiей соединяютъ особое понятiе — ея число, именуемое особымъ названiемъ. Съ этой точки зрѣнiя и совокупность прямолинейныхъ отрѣзковъ представляетъ собой такую категорiю (§ 2, 2). Если мы будемъ обозначать черезъ $\omega$ соотвѣтствующее ей число, то выраженiе: „комплексъ $A$ имѣетъ $\omega$ элементовъ“, будетъ означать, что комплексъ $A$ имѣетъ ту же мощность, что и прямолинейный отрѣзокъ, или иначе, что элементы этого комплекса могутъ быть сопряжены однозначнымъ соотвѣтствiемъ съ точками прямолинейнаго отрѣзка.

[2] Авторъ намекаетъ здѣсь на другую систему построенiя основъ ариѳметики, съ точки зрѣнiя которой числа представляютъ собой не болѣе какъ символы, надъ которыми по опредѣленнымъ формальнымъ законамъ совершаются операцiи. Нужно сказать, что эта вторая теорія имѣетъ свои серьезныя достоинства.

[3] В примечании 3 мы рассматривали комплекс $A$ , состоящий из элементов $a,b,c,d$ . Все комплексы, имеющие ту же мощность, объединяются в одну категорию, которой дают название «четыре», и говорят, что такой комплекс состоит из четырех элементов или, что четыре есть число этого комплекса. Таким же образом и другие комплексы распределяются в категории, объединяющие комплексы одинаковой мощности; с каждой такой категорией соединяют особое понятие — её число, именуемое особым названием. С этой точки зрения и совокупность прямолинейных отрезков представляет собой такую категорию (§ 2, 2). Если мы будем обозначать через $\omega$ соответствующее ей число, то выражение: «комплекс $A$ имеет $\omega$ элементов», будет означать, что комплекс $A$ имеет ту же мощность, что и прямолинейный отрезок, или иначе, что элементы этого комплекса могут быть сопряжены однозначным соответствием с точками прямолинейного отрезка.

[4] Автор намекает здесь на другую систему построения основ арифметики, с точки зрения которой числа представляют собой не более как символы, над которыми по определённым формальным законам совершаются операции. Нужно сказать, что эта вторая теория имеет свои серьёзные достоинства.

[1]

[2]

[1]

[2]