Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/31

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

число (§ 3, 7); поэтому каждое натуральное число, отличное отъ , содержится въ комплексѣ .

b') Допустимъ теперь, что предложенiе 1 доказано для нѣкотораго числа . Пусть будетъ число отличное отъ . Дано, что

число не содержится въ комплексе и, слѣдовательно, (согласно допущенiю) число содержится въ комплексѣ .

Требуется доказать:

если число отлично отъ и число не содержится въ комплексѣ , то число содержится въ комплексѣ .

При доказательствѣ мы можемъ также принимать, что число отлично отъ ; если бы , то число содержалось бы въ комплексѣ (§ 3, 6).

Такъ какъ число не содержится въ комплексе , то въ немъ не содержится и число : если бы послѣднее входило въ составъ комплекса , то въ его составъ, согласно опредѣленiю (§ 3, β'), должно было бы войти и число .

Согласно заданiю, число входитъ въ составъ комплекса , такъ какъ при этомъ (§ 3, 7)

, (1)

число же отлично отъ , то оно необходимо входитъ въ составъ комплекса , что и требовалось доказать.

Такимъ образомъ, въ силу теоремы о совершенной индукцiи, предложенiе 1 справедливо при , а также для всѣхъ чиселъ , содержащихъ въ комплексѣ , т. е. для всѣхъ чиселъ натуральнаго ряда. Изъ всего сказаннаго (§ 3, 11 и § 5, 1) вытекаетъ слѣдующiй выводъ: если числа и различны, то либо число содержится въ комплексѣ , либо же число содержится въ комплексѣ ; то и другое вмѣстѣ не можетъ имѣть мѣста. Это даетъ возможность расположить числа натуральнаго ряда по величинѣ.

Дополнимъ опредѣленiе § 3, 11, именно: если число содержится въ комплексѣ , то мы будемъ говорить, что число больше числа , а число меньше числа .

Следовательно, если число отлично отъ числа ; и не больше, нежели , то оно меньше числа . Относительно двухъ различныхъ чиселъ и такимъ образомъ строго опредѣлено, которое изъ нихъ больше, которое меньше. Если есть большее изъ этихъ двухъ чиселъ, то мы будемъ писать

и ;

одно изъ этихъ соотношенiй представляетъ собой слѣдствiе другого.


Тот же текст в современной орфографии

число (§ 3, 7); поэтому каждое натуральное число, отличное от , содержится в комплексе .

b') Допустим теперь, что предложение 1 доказано для некоторого числа . Пусть будет число отличное от . Дано, что

число не содержится в комплексе и, следовательно, (согласно допущению) число содержится в комплексе .

Требуется доказать:

если число отлично от и число не содержится в комплексе , то число содержится в комплексе .

При доказательстве мы можем также принимать, что число отлично от ; если бы , то число содержалось бы в комплексе (§ 3, 6).

Так как число не содержится в комплексе , то в нём не содержится и число : если бы последнее входило в состав комплекса , то в его состав, согласно определению (§ 3, β'), должно было бы войти и число .

Согласно заданию, число входит в состав комплекса , так как при этом (§ 3, 7)

, (1)

число же отлично от , то оно необходимо входит в состав комплекса , что и требовалось доказать.

Таким образом, в силу теоремы о совершенной индукции, предложение 1 справедливо при , а также для всех чисел , содержащих в комплексе , т. е. для всех чисел натурального ряда. Из всего сказанного (§ 3, 11 и § 5, 1) вытекает следующий вывод: если числа и различны, то либо число содержится в комплексе , либо же число содержится в комплексе ; то и другое вместе не может иметь места. Это даёт возможность расположить числа натурального ряда по величине.

Дополним определение § 3, 11, именно: если число содержится в комплексе , то мы будем говорить, что число больше числа , а число меньше числа .

Следовательно, если число отлично от числа ; и не больше, нежели , то оно меньше числа . Относительно двух различных чисел и таким образом строго определено, которое из них больше, которое меньше. Если есть большее из этих двух чисел, то мы будем писать

и ;

одно из этих соотношений представляет собой следствие другого.