Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/32

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

Вмѣстѣ съ тѣмъ предложенiе § 3, 10* можетъ быть дополнено слѣдующимъ образомъ.

2. Если число меньше, нежели , а меньше, нежели , то число меньше, нежели .

3. Если число меньше, нежели , то меньше, нежели .

Въ самомъ дѣлѣ,

и . (2)

Если теперь , то комплексъ представляетъ собой правильную часть комплекса , при чемъ число не содержится въ комплексѣ ; слѣдовательно, комплексъ , входитъ въ составъ комплекса ; комплексъ-же составляетъ часть комплекса . Это и составляетъ содержанiе доказываемаго предложенiя [1].

4. Bcѣ комплексы имѣютъ одинаковую мощность — и именно ту же, что и комплексъ .

Дѣйствительно, если отнесемъ каждый элементъ комплекса числу комплекса , то между комплексами и , будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе; они имѣютъ, слѣдовательно, одинаковую мощность. Точно такъ же мы получаемъ однозначное соотвѣтствiе между комплексами и , если мы отнесемъ каждый элементъ комплекса элементу комплекса вслѣдствiе этого комплексъ имѣетъ ту-же мощность, что и комплексъ . Въ силу закона индукцiи, мы отсюда заключаемъ, что комплексы и имѣютъ одну и ту-же мощность. Если мы обозначимъ мощность всѣхъ этихъ комплексовъ черезъ , то число совпадаетъ съ , а потому есть безконечное или, по Кантору (G. Cantor), трансфинитное число.


Тот же текст в современной орфографии

Вместе с тем предложение § 3, 10* может быть дополнено следующим образом.

2. Если число меньше, нежели , а меньше, нежели , то число меньше, нежели .

3. Если число меньше, нежели , то меньше, нежели .

В самом деле,

и . (2)

Если теперь , то комплекс представляет собой правильную часть комплекса , причём число не содержится в комплексе ; следовательно, комплекс , входит в состав комплекса ; комплекс же составляет часть комплекса . Это и составляет содержание доказываемого предложения [2].

4. Bcе комплексы имеют одинаковую мощность — и именно ту же, что и комплекс .

Действительно, если отнесём каждый элемент комплекса числу комплекса , то между комплексами и , будет установлено однозначное соответствие; они имеют, следовательно, одинаковую мощность. Точно так же мы получаем однозначное соответствие между комплексами и , если мы отнесём каждый элемент комплекса элементу комплекса вследствие этого комплекс имеет ту же мощность, что и комплекс . В силу закона индукции, мы отсюда заключаем, что комплексы и имеют одну и ту же мощность. Если мы обозначим мощность всех этих комплексов через , то число совпадает с , а потому есть бесконечное или, по Кантору (G. Cantor), трансфинитное число.

  1. Это доказательство также изложено очень сжато.

    Прежде всего покажемъ, что при число не содержится въ комплексѣ . Такъ какъ , то число принадлежитъ комплексу (опр. § 3,11). Соотношенiе (1) обнаруживаетъ, что число либо совпадаетъ при этомъ съ , либо содержится въ комплексѣ . Если число совпадаетъ съ , то есть , а потому число въ его составъ не входитъ (§ 3,9). Если же число входитъ въ составъ комплекса , то и въ этомъ случаѣ число не входитъ въ составъ комплекса (3,11).

    По условiю , т. е. число принадлежитъ комплексу , а потому комплексъ входитъ въ составъ комплекса (§ 3, 10). Но такъ какъ число въ комплексѣ не содержится, то мы можемъ исключить изъ комплекса число , и комплексъ будетъ все же содержаться въ оставшемся комплексѣ. Но оставшiйся комплексъ [соотн. (2)] есть ; слѣдовательно, комплексъ входитъ въ составъ комплекса , а потому въ составъ комплекса входитъ и число , принадлежащее комплексу . Иными словами, (опр. § 3, 11).

  2. Это доказательство также изложено очень сжато.

    Прежде всего покажем, что при число не содержится в комплексе . Так как , то число принадлежит комплексу (опр. § 3,11). Соотношение (1) обнаруживает, что число либо совпадает при этом с , либо содержится в комплексе . Если число совпадает с , то есть , а потому число в его состав не входит (§ 3,9). Если же число входит в состав комплекса , то и в этом случае число не входит в состав комплекса (3,11).

    По условию , т. е. число принадлежит комплексу , а потому комплекс входит в состав комплекса (§ 3, 10). Но так как число в комплексе не содержится, то мы можем исключить из комплекса число , и комплекс будет всё же содержаться в оставшемся комплексе. Но оставшийся комплекс [соотн. (2)] есть ; следовательно, комплекс входит в состав комплекса , а потому в состав комплекса входит и число , принадлежащее комплексу . Иными словами, (опр. § 3, 11).