Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/33

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

Всякiй комплексъ, имѣющiй ту же мощность, что и комплексъ , называется исчислимымъ комплексомъ.

5. Если комплексъ содержитъ въ себѣ безконечный комплексъ , то онъ и самъ представляетъ собой безконечный комплексъ.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ элементъ, не входящiй въ составъ комплекса ; составимъ комплексъ . Такъ какъ по условiю комплексъ безконеченъ, то онъ можетъ быть связанъ однозначнымъ соотвѣтствiемъ съ комплексомъ . Если мы затѣмъ отнесемъ каждый изъ остальныхъ элементовъ комплекса (т. е. элементы комплекса ) самому себѣ, то этимъ будетъ установлено однозначное соотвѣтствiе между и . Если поэтому есть число комплекса , то оно совпадаетъ съ , и потому безконечно.

6. Если мощность какого либо комплекса не совпадаетъ съ мощностью ни одного изъ чиселъ натуральнаго ряда, то онъ содержитъ въ себѣ часть, имѣющую мощность натуральнаго ряда, а потому онъ безконеченъ.

Комплексъ , какъ всякiй комплексъ, содержитъ въ себѣ часть мощности . Выдѣлимъ такую часть и отнесемъ къ ней число .

Теперь допустимъ, что комплексъ имѣетъ часть мощности натуральнаго числа , содержащую въ себѣ . Такъ какъ самый комплексъ не имѣетъ мощности натуральнаго числа, то комплексъ представляетъ собою правильную часть комплекса , — иначе говоря, въ комплексѣ имеются элементы, которыхъ нѣтъ въ комплексѣ . Выбравъ одинъ опредѣленный изъ этихъ элементовъ, отнесемъ ему число и присоединимъ его къ комплексу . Такимъ образомъ мы составимъ комплексъ , заключающiй въ себѣ комплексъ и представляющiй собой часть комплекса . Въ силу закона индукцiи мы отсюда заключаемъ, что такое построенiе возможно для каждаго числа , — иными словами, что каждому числу натуральнаго ряда можно отнести элементъ комплекса , что и требовалось доказать.

Изъ всего сказаннаго вытекаетъ, что понятiе о натуральномъ числѣ совпадаетъ съ понятiемъ о конечномъ числѣ, какъ оно было установлено въ § 3, 3.

7. Во всякомъ конечномъ числовомъ комплексѣ , содержащемъ натуральныхъ чиселъ, имѣется одно наибольшее и одно наименьшее число.

Само собою разумѣется, что теорема справедлива при ; въ этомъ случаѣ комплексъ состоитъ изъ одного только числа, которое само можетъ быть разсматриваемо, какъ самое большее и самое меньшее число этого комплекса. Допустимъ теперь, что теорема доказана для нѣ-


Тот же текст в современной орфографии

Всякий комплекс, имеющий ту же мощность, что и комплекс , называется исчислимым комплексом.

5. Если комплекс содержит в себе бесконечный комплекс , то он и сам представляет собой бесконечный комплекс.

В самом деле, пусть будет элемент, не входящий в состав комплекса ; составим комплекс . Так как по условию комплекс бесконечен, то он может быть связан однозначным соответствием с комплексом . Если мы затем отнесём каждый из остальных элементов комплекса (т. е. элементы комплекса ) самому себе, то этим будет установлено однозначное соответствие между и . Если поэтому есть число комплекса , то оно совпадает с , и потому бесконечно.

6. Если мощность какого-либо комплекса не совпадает с мощностью ни одного из чисел натурального ряда, то он содержит в себе часть, имеющую мощность натурального ряда, а потому он бесконечен.

Комплекс , как всякий комплекс, содержит в себе часть мощности . Выделим такую часть и отнесём к ней число .

Теперь допустим, что комплекс имеет часть мощности натурального числа , содержащую в себе . Так как сам комплекс не имеет мощности натурального числа, то комплекс представляет собою правильную часть комплекса , — иначе говоря, в комплексе имеются элементы, которых нет в комплексе . Выбрав один определённый из этих элементов, отнесём ему число и присоединим его к комплексу . Таким образом мы составим комплекс , заключающий в себе комплекс и представляющий собой часть комплекса . В силу закона индукции мы отсюда заключаем, что такое построение возможно для каждого числа , — иными словами, что каждому числу натурального ряда можно отнести элемент комплекса , что и требовалось доказать.

Из всего сказанного вытекает, что понятие о натуральном числе совпадает с понятием о конечном числе, как оно было установлено в § 3, 3.

7. Во всяком конечном числовом комплексе , содержащем натуральных чисел, имеется одно наибольшее и одно наименьшее число.

Само собою разумеется, что теорема справедлива при ; в этом случае комплекс состоит из одного только числа, которое само может быть рассматриваемо, как самое большее и самое меньшее число этого комплекса. Допустим теперь, что теорема доказана для не-