Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/34

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

котораго опредѣленнаго значенiя , и пусть , будетъ самое меньшее, самое большее число комплекса . Каждый комплексъ получается изъ нѣкотораго комплекса путемъ присоединенiя одного новаго числа . Если теперь , то представляетъ собою самое меньшее, самое большее число комплекса ; если , то есть самое меньшее, самое большее число комплекса ; если, наконецъ, , то есть самое меньшее, самое большее число комплекса . Въ силу совершенной индукцiи, предложенiе такимъ образомъ доказано.


Тот же текст в современной орфографии

которого определённого значения , и пусть , будет самое меньшее, самое большее число комплекса . Каждый комплекс получается из некоторого комплекса путём присоединения одного нового числа . Если теперь , то представляет собою самое меньшее, самое большее число комплекса ; если , то есть самое меньшее, самое большее число комплекса ; если, наконец, , то есть самое меньшее, самое большее число комплекса . В силу совершенной индукции, предложение таким образом доказано.



§ 6. Кардинальныя числа. Системы счисленiя.

Если мы выключимъ изъ натуральнаго ряда комплексъ , то останутся, кромѣ числа , только тѣ числа, которыя меньше , ибо каждое число, большее, нежели , принадлежитъ комплексу .

Этотъ комплексъ мы будемъ обозначать черезъ , такъ что

.

Комплексъ состоитъ, слѣдовательно, изъ всѣхъ чиселъ , удовлетворяющiхъ условiю

,

или — въ словахъ — изъ всѣхъ чиселъ, которыя равны или меньше числа .

1. Комплексъ получается изъ комплекса путемъ присоединенiя къ послѣднему числа .

Въ самомъ дѣлѣ, изъ комплекса мы получаемъ комплексъ , выключая изъ него число ; поэтому, чтобы изъ комплекса получить комплексъ , къ нему нужно только присоединить число .

2. Число имѣетъ мощность .

Доказательство ведется индуктивнымъ путемъ. Предложенiе справедливо, если , потому что комплексъ содержитъ только одно число . Если же предложенiе справедливо для комплекса , то, въ силу предыдущаго предложенiя, оно справедливо также для комплекса .

Итакъ, есть конечный комплексъ, и если , то комплексъ представляетъ собой правильную часть комплекса , ибо комплексъ есть правильная часть комплекса .

Если поэтому комплексы и суть представители натуральныхъ чиселъ и , то комплексъ , которому соотвѣтствуетъ меньшее число, можетъ быть приведенъ въ однозначное соотвѣтствiе съ правильною частью комплекса ; и обратно, если одинъ изъ двухъ конечныхъ комплексовъ можетъ быть приведенъ въ однозначное соотвѣтствiе съ правильною частью другого, то ему отвѣчаетъ меньшее число.


Тот же текст в современной орфографии
§ 6. Кардинальные числа. Системы счисления.

Если мы выключим из натурального ряда комплекс , то останутся, кроме числа , только те числа, которые меньше , ибо каждое число, большее, нежели , принадлежит комплексу .

Этот комплекс мы будем обозначать через , так что

.

Комплекс состоит, следовательно, из всех чисел , удовлетворяющих условию

,

или — в словах — из всех чисел, которые равны или меньше числа .

1. Комплекс получается из комплекса путём присоединения к последнему числа .

В самом деле, из комплекса мы получаем комплекс , выключая из него число ; поэтому, чтобы из комплекса получить комплекс , к нему нужно только присоединить число .

2. Число имеет мощность .

Доказательство ведётся индуктивным путем. Предложение справедливо, если , потому что комплекс содержит только одно число . Если же предложение справедливо для комплекса , то, в силу предыдущего предложения, оно справедливо также для комплекса .

Итак, есть конечный комплекс, и если , то комплекс представляет собой правильную часть комплекса , ибо комплекс есть правильная часть комплекса .

Если поэтому комплексы и суть представители натуральных чисел и , то комплекс , которому соответствует меньшее число, может быть приведён в однозначное соответствие с правильною частью комплекса ; и обратно, если один из двух конечных комплексов может быть приведён в однозначное соответствие с правильною частью другого, то ему отвечает меньшее число.