Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/38

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана
ГЛАВА II.
Ариѳметическiя дѣйствiя.

§ 7. Сложенiе.

Мы воспользуемся совершенной индукцiей для доказательства слѣдующаго предложенiя.

1. Если мы соединимъ два конечныхъ комплекса и въ одинъ комплексъ, то получимъ конечный комплексъ.

При доказательствѣ мы можемъ ограничиться предположенiемъ, что комплексы и не имѣютъ общихъ элементовъ. Въ самомъ дѣлѣ, если всѣ элементы комплекса принадлежатъ также комплексу , то, комплексъ , а потому представляетъ собой, согласно условiю, конечный комплексъ. Если же есть пересѣченiе комплексовъ и то есть часть комплекса , не имѣющая общихъ элементовъ съ комплексомъ ; вмѣстѣ съ тѣмъ (§ 2, 5)

.

Такимъ образомъ мы можемъ съ самаго начала принять, что комплексы и не имѣютъ общихъ элементовъ. Если теперь комплексъ содержитъ только одинъ элементъ , то доказываемая теорема справедлива, потому что комплексъ , согласно предложенiю § 3, 3, представляетъ собой конечный комплексъ. Теперь примемъ, что есть число элементовъ комплекса и что наше предложенiе для комплексовъ и уже доказано, такъ что представляютъ собой конечный комплексъ. Если теперь представляетъ собой новый элементъ, не содержащiйся ни въ ни въ , то также есть конечный комплексъ, число элементовъ котораго есть . Поэтому комплексъ

,
въ силу того же § 3, 3, конеченъ.

Всѣ условiя, необходимыя для примѣненiя совершенной индукцiи, такимъ образомъ на лицо, и, слѣдовательно, наша теорема доказана.


Тот же текст в современной орфографии
ГЛАВА II
Арифметические действия

§ 7. Сложение.

Мы воспользуемся совершенной индукцией для доказательства следующего предложения.

1. Если мы соединим два конечных комплекса и в один комплекс, то получим конечный комплекс.

При доказательстве мы можем ограничиться предположением, что комплексы и не имеют общих элементов. В самом деле, если все элементы комплекса принадлежат также комплексу , то, комплекс , а потому представляет собой, согласно условию, конечный комплекс. Если же есть пересечение комплексов и то есть часть комплекса , не имеющая общих элементов с комплексом ; вместе с тем (§ 2, 5)

.

Таким образом мы можем с самого начала принять, что комплексы и не имеют общих элементов. Если теперь комплекс содержит только один элемент , то доказываемая теорема справедлива, потому что комплекс , согласно предложению § 3, 3, представляет собой конечный комплекс. Теперь примем, что есть число элементов комплекса и что наше предложение для комплексов и уже доказано, так что представляют собой конечный комплекс. Если теперь представляет собой новый элемент, не содержащийся ни в ни в , то также есть конечный комплекс, число элементов которого есть . Поэтому комплекс

,
в силу того же § 3, 3, конечен.

Все условия, необходимые для применения совершенной индукции, таким образом налицо, и, следовательно, наша теорема доказана.