Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/41

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана
§ 8. Умноженiе.

Часто приходится составлять суммы одинаковыхъ слагаемыхъ; для нихъ введено особое обозначенiе. Чтобы это объяснить, предположимъ, что намъ дано слагаемыхъ, которыя всѣ равны , и что нужно образовать сумму всѣхъ этихъ чиселъ, т. е. напримѣръ

при
при .
Сумму этихъ чиселъ мы будемъ обозначать символомъ , или , или, наконецъ, просто черезъ . Образованiе этой суммы называется умноженiемъ числа на число . Число называется множимымъ, число множителемъ, — результатъ умноженiя — произведенiемъ числа на число .

Согласно опредѣленiю, ; мы положимъ также [1] , такъ какъ это въ предыдущемъ опредѣленiи не содержится. Умноженiе на большаго множителя можетъ быть приведено къ умноженiю на меньшихъ множителей посредствомъ рекуррентной формулы

, (1)
которая, въ виду установленнаго выше соглашенiя, сохраняетъ свою силу также при .

2. Первое основное предложенiе относительно умноженiя есть законъ перемѣстительный, заключающiйся въ томъ, что результатъ умноженiя не измѣнится, если мы множимое и множителя замѣнимъ другъ другомъ; этотъ законъ выражается соотношенiемъ

. (2)

Доказательство этого предложенiя можетъ быть произведено при помощи совершенной индукцiи. Представимъ себѣ конечныхъ комплексовъ , которые мы для отличiя будемъ обозначать черезъ , , ... ; допустимъ, что эти комплексы не имѣютъ попарно общихъ элементовъ, но всѣ имѣютъ одну и ту-же мощность . Въ такомъ случаѣ произведенiе представляетъ собой число комплекса , который получимъ, если соединимъ всѣ наши комплексы , ... .

Теперь къ каждому изъ комплексовъ , ... мы присоединимъ еще по одному элементу, такъ что перейдетъ въ . Этимъ мы присоединяемъ къ еще новыхъ элементовъ. Если [2] есть комплексъ, который мы такимъ образомъ получаемъ вместо , то онъ выражается


Тот же текст в современной орфографии
§ 8. Умножение.

Часто приходится составлять суммы одинаковых слагаемых; для них введено особое обозначение. Чтобы это объяснить, предположим, что нам дано слагаемых, которые все равны , и что нужно образовать сумму всех этих чисел, т. е. например

при
при .
Сумму этих чисел мы будем обозначать символом , или , или, наконец, просто через . Образование этой суммы называется умножением числа на число . Число называется множимым, число множителем, — результат умножения — произведением числа на число .

Согласно определению, ; мы положим также [3] , так как это в предыдущем определении не содержится. Умножение на большего множителя может быть приведено к умножению на меньших множителей посредством рекуррентной формулы

, (1)
которая, ввиду установленного выше соглашения, сохраняет свою силу также при .

2. Первое основное предложение относительно умножения есть закон переместительный, заключающийся в том, что результат умножения не изменится, если мы множимое и множителя заменим друг другом; этот закон выражается соотношением

. (2)

Доказательство этого предложения может быть произведено при помощи совершенной индукции. Представим себе конечных комплексов , которые мы для отличия будем обозначать через , , ... ; допустим, что эти комплексы не имеют попарно общих элементов, но все имеют одну и ту же мощность . В таком случае произведение представляет собой число комплекса , который получим, если соединим все наши комплексы , ... .

Теперь к каждому из комплексов , ... мы присоединим ещё по одному элементу, так что перейдёт в . Этим мы присоединяем к ещё новых элементов. Если [4] есть комплекс, который мы таким образом получаем вместо , то он выражается

  1. т. е. введемъ въ качествѣ особаго соглашенiя
  2. Опечатка. Новый комплекс должен иметь какое-то иное обозначение, например . — Примечание редактора Викитеки.
  3. т. е. введем в качестве особого соглашения
  4. Опечатка. Новый комплекс должен иметь какое-то иное обозначение, например . — Примечание редактора Викитеки.