§ 8. Умноженiе.
Часто приходится составлять суммы одинаковыхъ слагаемыхъ; для нихъ введено особое обозначенiе. Чтобы это объяснить, предположимъ, что намъ дано
слагаемыхъ, которыя всѣ равны
, и что нужно образовать сумму всѣхъ этихъ чиселъ, т. е. напримѣръ
при
|
|
при .
|
|
Сумму этихъ
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
чиселъ мы будемъ обозначать символомъ
![{\displaystyle a.b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d658ff5509c6f6107fd3185275f5ba39d521725b)
, или
![{\displaystyle a\times b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b420244850c1a22be4c326f91e146db8b037f0)
, или, наконецъ, просто черезъ
![{\displaystyle ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d)
. Образованiе этой суммы называется
умноженiемъ числа
на число ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
. Число
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
называется множимымъ, число
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
множителемъ,
![{\displaystyle ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d)
— результатъ умноженiя —
произведенiемъ числа
на число ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
.
Согласно опредѣленiю,
; мы положимъ также [1]
, такъ какъ это въ предыдущемъ опредѣленiи не содержится. Умноженiе на большаго множителя можетъ быть приведено къ умноженiю на меньшихъ множителей посредствомъ рекуррентной формулы
,
|
(1)
|
которая, въ виду установленнаго выше соглашенiя, сохраняетъ свою силу также при
![{\displaystyle a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4)
.
2. Первое основное предложенiе относительно умноженiя есть законъ перемѣстительный, заключающiйся въ томъ, что результатъ умноженiя не измѣнится, если мы множимое и множителя замѣнимъ другъ другомъ; этотъ законъ выражается соотношенiемъ
.
|
(2)
|
Доказательство этого предложенiя можетъ быть произведено при помощи совершенной индукцiи. Представимъ себѣ
конечныхъ комплексовъ
, которые мы для отличiя будемъ обозначать черезъ
,
, ...
; допустимъ, что эти комплексы не имѣютъ попарно общихъ элементовъ, но всѣ имѣютъ одну и ту-же мощность
. Въ такомъ случаѣ произведенiе
представляетъ собой число комплекса
, который получимъ, если соединимъ всѣ наши комплексы
,
...
.
Теперь къ каждому изъ комплексовъ
,
...
мы присоединимъ еще по одному элементу, такъ что
перейдетъ въ
. Этимъ мы присоединяемъ къ
еще
новыхъ элементовъ. Если
[2] есть комплексъ, который мы такимъ образомъ получаемъ вместо
, то онъ выражается
- ↑ т. е. введемъ въ качествѣ особаго соглашенiя
- ↑ Опечатка. Новый комплекс должен иметь какое-то иное обозначение, например
. — Примечание редактора Викитеки.
Тот же текст в современной орфографии
§ 8. Умножение.
Часто приходится составлять суммы одинаковых слагаемых; для них введено особое обозначение. Чтобы это объяснить, предположим, что нам дано
слагаемых, которые все равны
, и что нужно образовать сумму всех этих чисел, т. е. например
при
|
|
при .
|
|
Сумму этих
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
чисел мы будем обозначать символом
![{\displaystyle a.b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d658ff5509c6f6107fd3185275f5ba39d521725b)
, или
![{\displaystyle a\times b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b420244850c1a22be4c326f91e146db8b037f0)
, или, наконец, просто через
![{\displaystyle ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d)
. Образование этой суммы называется
умножением числа
на число ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
. Число
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
называется множимым, число
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
множителем,
![{\displaystyle ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d)
— результат умножения —
произведением числа
на число ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
.
Согласно определению,
; мы положим также [1]
, так как это в предыдущем определении не содержится. Умножение на большего множителя может быть приведено к умножению на меньших множителей посредством рекуррентной формулы
,
|
(1)
|
которая, ввиду установленного выше соглашения, сохраняет свою силу также при
![{\displaystyle a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4)
.
2. Первое основное предложение относительно умножения есть закон переместительный, заключающийся в том, что результат умножения не изменится, если мы множимое и множителя заменим друг другом; этот закон выражается соотношением
.
|
(2)
|
Доказательство этого предложения может быть произведено при помощи совершенной индукции. Представим себе
конечных комплексов
, которые мы для отличия будем обозначать через
,
, ...
; допустим, что эти комплексы не имеют попарно общих элементов, но все имеют одну и ту же мощность
. В таком случае произведение
представляет собой число комплекса
, который получим, если соединим все наши комплексы
,
...
.
Теперь к каждому из комплексов
,
...
мы присоединим ещё по одному элементу, так что
перейдёт в
. Этим мы присоединяем к
ещё
новых элементов. Если
[2] есть комплекс, который мы таким образом получаем вместо
, то он выражается
- ↑ т. е. введем в качестве особого соглашения
- ↑ Опечатка. Новый комплекс должен иметь какое-то иное обозначение, например
. — Примечание редактора Викитеки.