Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/42

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

числомъ ; съ другой стороны, тотъ же комплексъ можетъ быть выраженъ числомъ , а потому

; (3)
это соотношенiе сохраняетъ свою силу и при . Но при , въ силу самаго определенiя,
.

Если мы поэтому примемъ, что соотношение (2) доказано для нѣкотораго значенiя числа , то изъ равенства (3) вытекаетъ

;
если же мы въ соотношенiи (1) замѣнимъ и другъ другомъ, то получимъ
;
следовательно,
,
т. е. справедливость соотношенiя (2) доказана и для ближайшаго большаго значенiя числа . Мы можемъ поэтому примѣнить индуктивный прiемъ, и предложенiе доказано во всемъ его объемѣ.

Въ силу этого нѣтъ болѣе основанiй къ тому, чтобы отличать другъ отъ друга множимое и множителя; ихъ называютъ обыкновенно безразлично сомножителями произведенiя.

Для производства умноженiя достаточно знать произведенiя любыхъ двухъ чиселъ въ ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — которыя мы составляемъ непосредственнымъ счетомъ и запечатлѣваемъ въ своей памяти. Десятичная система счисленiя даетъ возможность извѣстнымъ способомъ составлять произведенiя большихъ чиселъ.

3. Законъ сочетательный или ассоцiативный.

Представимъ себѣ теперь, что каждый элементъ во всѣхъ комплексахъ , , ... замѣщенъ нѣкоторымъ комплексомъ ; предположимъ, что всѣ эти комплексы имѣютъ одинаковую мощность , но никакие два изъ нихъ не имѣютъ общихъ элементовъ. Теперь соединимъ всѣ элементы этихъ комплексовъ въ одинъ комплексъ , число котораго намъ нужно опредѣлить.

Но число комплексовъ есть следовательно, число всѣхъ элементовъ комплекса равно

.

Съ другой стороны, въ каждомъ комплексе содержится элементовъ; а такъ какъ число комплексовъ равно , то число элементовъ


Тот же текст в современной орфографии

числом ; с другой стороны, тот же комплекс может быть выражен числом , а потому

; (3)
это соотношение сохраняет свою силу и при . Но при , в силу самого определения,
.

Если мы поэтому примем, что соотношение (2) доказано для некоторого значения числа , то из равенства (3) вытекает

;
если же мы в соотношении (1) заменим и друг другом, то получим
;
следовательно,
,
т. е. справедливость соотношения (2) доказана и для ближайшего большего значения числа . Мы можем поэтому применить индуктивный приём, и предложение доказано во всём его объеме.

В силу этого нет более оснований к тому, чтобы отличать друг от друга множимое и множителя; их называют обыкновенно безразлично сомножителями произведения.

Для производства умножения достаточно знать произведения любых двух чисел в ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — которые мы составляем непосредственным счётом и запечатлеваем в своей памяти. Десятичная система счисления даёт возможность известным способом составлять произведения больших чисел.

3. Закон сочетательный или ассоциативный.

Представим себе теперь, что каждый элемент во всех комплексах , , ... замещён некоторым комплексом ; предположим, что все эти комплексы имеют одинаковую мощность , но никакие два из них не имеют общих элементов. Теперь соединим все элементы этих комплексов в один комплекс , число которого нам нужно определить.

Но число комплексов есть следовательно, число всех элементов комплекса равно

.

С другой стороны, в каждом комплексе содержится элементов; а так как число комплексов равно , то число элементов