Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/42

числомъ $ab+a$; съ другой стороны, тотъ же комплексъ можетъ быть выраженъ числомъ $a(b+1)$, а потому

$ab+a=a(b+1)$;

(3)

это соотношенiе сохраняетъ свою силу и при $b=1$. Но при $b=1$, въ силу самаго определенiя,

$ab=ba$.

Если мы поэтому примемъ, что соотношение (2) доказано для нѣкотораго значенiя числа $b$, то изъ равенства (3) вытекаетъ

$a(b+1)=ba+a$;

если же мы въ соотношенiи (1) замѣнимъ $a$ и $b$ другъ другомъ, то получимъ

$ba+a=(b+1)a$;

следовательно,

$a(b+1)=(b+1)a$,

т. е. справедливость соотношенiя (2) доказана и для ближайшаго большаго значенiя числа $b$. Мы можемъ поэтому примѣнить индуктивный прiемъ, и предложенiе доказано во всемъ его объемѣ.

Въ силу этого нѣтъ болѣе основанiй къ тому, чтобы отличать другъ отъ друга множимое и множителя; ихъ называютъ обыкновенно безразлично сомножителями произведенiя.

Для производства умноженiя достаточно знать произведенiя любыхъ двухъ чиселъ въ ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — которыя мы составляемъ непосредственнымъ счетомъ и запечатлѣваемъ въ своей памяти. Десятичная система счисленiя даетъ возможность извѣстнымъ способомъ составлять произведенiя большихъ чиселъ.

3. Законъ сочетательный или ассоцiативный.

Представимъ себѣ теперь, что каждый элементъ во всѣхъ комплексахъ $B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$ ... $B_{a}$ замѣщенъ нѣкоторымъ комплексомъ $C$; предположимъ, что всѣ эти комплексы $C$ имѣютъ одинаковую мощность $c$, но никакие два изъ нихъ не имѣютъ общихъ элементовъ. Теперь соединимъ всѣ элементы этихъ комплексовъ $C$ въ одинъ комплексъ $P$, число котораго намъ нужно опредѣлить.

Но число комплексовъ $C$ есть $ab$ следовательно, число всѣхъ элементовъ комплекса $P$ равно

$(ab)c$.

Съ другой стороны, въ каждомъ комплексе $B$ содержится $bc$ элементовъ; а такъ какъ число комплексовъ $B$ равно $a$, то число элементовъ

Тот же текст в современной орфографии

числом $ab+a$; с другой стороны, тот же комплекс может быть выражен числом $a(b+1)$, а потому

$ab+a=a(b+1)$;

(3)

это соотношение сохраняет свою силу и при $b=1$. Но при $b=1$, в силу самого определения,

$ab=ba$.

Если мы поэтому примем, что соотношение (2) доказано для некоторого значения числа $b$, то из равенства (3) вытекает

$a(b+1)=ba+a$;

если же мы в соотношении (1) заменим $a$ и $b$ друг другом, то получим

$ba+a=(b+1)a$;

следовательно,

$a(b+1)=(b+1)a$,

т. е. справедливость соотношения (2) доказана и для ближайшего большего значения числа $b$. Мы можем поэтому применить индуктивный приём, и предложение доказано во всём его объеме.

В силу этого нет более оснований к тому, чтобы отличать друг от друга множимое и множителя; их называют обыкновенно безразлично сомножителями произведения.

Для производства умножения достаточно знать произведения любых двух чисел в ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — которые мы составляем непосредственным счётом и запечатлеваем в своей памяти. Десятичная система счисления даёт возможность известным способом составлять произведения больших чисел.

3. Закон сочетательный или ассоциативный.

Представим себе теперь, что каждый элемент во всех комплексах $B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$ ... $B_{a}$ замещён некоторым комплексом $C$; предположим, что все эти комплексы $C$ имеют одинаковую мощность $c$, но никакие два из них не имеют общих элементов. Теперь соединим все элементы этих комплексов $C$ в один комплекс $P$, число которого нам нужно определить.

Но число комплексов $C$ есть $ab$ следовательно, число всех элементов комплекса $P$ равно

$(ab)c$.

С другой стороны, в каждом комплексе $B$ содержится $bc$ элементов; а так как число комплексов $B$ равно $a$, то число элементов