комплекса
равно также
 .
|
|
Отсюда получаемъ соотношенiе
 ,
|
|
которое и выражаетъ
сочетательный или ассоцiативный законъ. Сочетая этотъ законъ съ предыдущимъ, мы можемъ представить произведенiе трехъ сомножителей въ 12 различныхъ видахъ.
Правило производства вычисленiя можно выразить слѣдующимъ образомъ: выбираемъ любыя два изъ данныхъ трехъ чиселъ 
, 
и 
и перемножаемъ ихъ, — произведенiе же умножаемъ на третье число; результатъ не зависитъ отъ того, какъ мы выбрали первыя два числа, и такъ какъ поэтому скобки уже не нужны, то мы обозначимъ его такъ:
 .
|
|
Число m называется
произведенiемъ трехъ чиселъ , и ,
а послѣднiя называются
сомножителями этого произведенiя.
Доказательство перемѣстительнаго и сочетательнаго законовъ можно сделать нагляднымъ, если мы представимъ себѣ элементы комплексовъ 
въ виде шаровъ; шары эти распредѣлимъ въ ряды по въ каждомъ ряду; такихъ рядовъ расположимъ въ видѣ прямоугольника, и затѣмъ такихъ прямоугольниковъ положимъ одинъ на другой. Вся фигура имѣетъ въ такомъ случае видъ прямоугольной призмы, три сходящихся ребра которой соответственно содержатъ , и шаровъ. Эти шары можно тремя способами распределить въ прямоугольники, а каждый прямоугольникъ двумя способами разбить въ ряды.
4. Опираясь на эти предложенiя, мы можемъ при помощи индукцiи опредѣлить произведенiе любого числа множителей.
Положимъ, что намъ данъ комплексъ 
, состоящiй изъ чиселъ
 .
|
|
Пусть
будетъ число этихъ чиселъ. Выберемъ изъ нихъ произвольно два, перемножимъ ихъ и присоединимъ произведенiе къ остальнымъ числамъ. Мы получимъ комплексъ, содержащiй
чиселъ. Съ этимъ комплексомъ мы поступимъ такъ же, какъ съ прежнимъ, т. е. вновь выберемъ два числа, перемножимъ ихъ и присоединимъ произведенiе къ остальнымъ числамъ. Этотъ процессъ мы продолжимъ до тѣхъ поръ, пока не получимъ только одно число. Это число не зависитъ отъ того, какъ мы выбирали въ каждомъ случаѣ два числа для перемноженiя, т. е. не зависитъ отъ порядка нашего вычисленiя. Это число мы будемъ называть
произведенiемъ сомножителей , , , ... 
и, обозначая
Тот же текст в современной орфографии
комплекса
равно также
| .
|
|
Отсюда получаем соотношение
| ,
|
|
которое и выражает
сочетательный или ассоциативный закон. Сочетая этот закон с предыдущим, мы можем представить произведение трёх сомножителей в 12 различных видах.
Правило производства вычисления можно выразить следующим образом: выбираем любые два из данных трёх чисел , и и перемножаем их, — произведение же умножаем на третье число; результат не зависит от того, как мы выбрали первые два числа, и так как поэтому скобки уже не нужны, то мы обозначим его так:
| .
|
|
Число m называется
произведением трёх чисел , и , а последние называются
сомножителями этого произведения.
Доказательство переместительного и сочетательного законов можно сделать наглядным, если мы представим себе элементы комплексов в виде шаров; шары эти распределим в ряды по в каждом ряду; таких рядов расположим в виде прямоугольника, и затем таких прямоугольников положим один на другой. Вся фигура имеет в таком случае вид прямоугольной призмы, три сходящихся ребра которой соответственно содержат , и шаров. Эти шары можно тремя способами распределить в прямоугольники, а каждый прямоугольник двумя способами разбить в ряды.
4. Опираясь на эти предложения, мы можем при помощи индукции определить произведение любого числа множителей.
Положим, что нам дан комплекс , состоящий из чисел
| .
|
|
Пусть
будет число этих чисел. Выберем из них произвольно два, перемножим их и присоединим произведение к остальным числам. Мы получим комплекс, содержащий
чисел. С этим комплексом мы поступим так же, как с прежним, т. е. вновь выберем два числа, перемножим их и присоединим произведение к остальным числам. Этот процесс мы продолжим до тех пор, пока не получим только одно число. Это число не зависит от того, как мы выбирали в каждом случае два числа для перемножения, т. е. не зависит от порядка нашего вычисления. Это число мы будем называть
произведением сомножителей , , , ... и, обозначая
