Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/44

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

его черезъ , будемъ писать

,
т. е. попросту напишемъ сомножителей одинъ за другимъ.

Для доказательства высказаннаго утвержденiя, на которое опирается это опредѣленiе [1], мы вновь воспользуемся совершенной индукцiей. Какъ было доказано въ п. п. 2 и 3, предложенiе это справедливо, когда или же когда (здѣсь нельзя ограничиться случаемъ , т. к. при двухъ сомножителяхъ ассоцiативный законъ не находитъ себѣ примѣненiя). Теперь примемъ, что наше предложенiе справедливо для произведенiя сомножителей и докажемъ, что оно при этихъ условiяхъ справедливо и для произведенiя сомножителей. Итакъ, въ системѣ выберемъ прежде всего два числа и составимъ ихъ произведенiе; за эти числа могутъ быть взяты и  — это зависитъ только отъ обозначенiя; мы получаемъ, такимъ образомъ комплексъ , содержащiй чиселъ

.
Если мы теперь начнемъ нашъ процессъ иначе, то мы можемъ либо выбрать первые два множителя отличными отъ и , напримѣръ составить комплексъ изъ чиселъ
,
или же сохранить одно изъ чиселъ и , т. е. составить, скажемъ, комплексъ
.

Согласно допущенiю, произведенiя чиселъ въ каждомъ изъ комплексовъ , и не зависятъ отъ порядка вычисленiя; вслѣдствiе этого вычисленiе можно продолжать такъ, чтобы послѣ перваго-же прiема комплексы и , а также комплексы и дали тождественные результаты; именно, комплексы и , очевидно, могутъ дать комплексъ

;
комплексы-же и могутъ дать результатъ
.
А такъ какъ , какъ уже было сказано, во всякомъ случаѣ даетъ одно и то же окончательное произведенiе, то то же произведенiе даютъ комплексы и .

5. Изъ соотвѣтствующихъ предложенiй относительно сложенiя не-


Тот же текст в современной орфографии

его через , будем писать

,
т. е. попросту напишем сомножителей один за другим.

Для доказательства высказанного утверждения, на которое опирается это определение [2], мы вновь воспользуемся совершенной индукцией. Как было доказано в п. п. 2 и 3, предложение это справедливо, когда или же когда (здесь нельзя ограничиться случаем , т. к. при двух сомножителях ассоциативный закон не находит себе применения). Теперь примем, что наше предложение справедливо для произведения сомножителей и докажем, что оно при этих условиях справедливо и для произведения сомножителей. Итак, в системе выберем прежде всего два числа и составим их произведение; за эти числа могут быть взяты и  — это зависит только от обозначения; мы получаем, таким образом комплекс , содержащий чисел

.
Если мы теперь начнём наш процесс иначе, то мы можем либо выбрать первые два множителя отличными от и , например составить комплекс из чисел
,
или же сохранить одно из чисел и , т. е. составить, скажем, комплекс
.

Согласно допущению, произведения чисел в каждом из комплексов , и не зависят от порядка вычисления; вследствие этого вычисление можно продолжать так, чтобы после первого же приёма комплексы и , а также комплексы и дали тождественные результаты; именно, комплексы и , очевидно, могут дать комплекс

;
комплексы же и могут дать результат
.
А так как , как уже было сказано, во всяком случае даёт одно и то же окончательное произведение, то то же произведение дают комплексы и .

5. Из соответствующих предложений относительно сложения не-

  1. т. е. что результатъ не зависитъ отъ порядка процесса
  2. т. е. что результат не зависит от порядка процесса