его черезъ
, будемъ писать
,
|
|
т. е. попросту напишемъ сомножителей одинъ за другимъ.
Для доказательства высказаннаго утвержденiя, на которое опирается это опредѣленiе [1], мы вновь воспользуемся совершенной индукцiей. Какъ было доказано въ п. п. 2 и 3, предложенiе это справедливо, когда
или же когда
(здѣсь нельзя ограничиться случаемъ
, т. к. при двухъ сомножителяхъ ассоцiативный законъ не находитъ себѣ примѣненiя). Теперь примемъ, что наше предложенiе справедливо для произведенiя
сомножителей и докажемъ, что оно при этихъ условiяхъ справедливо и для произведенiя
сомножителей. Итакъ, въ системѣ
выберемъ прежде всего два числа и составимъ ихъ произведенiе; за эти числа могутъ быть взяты
и
— это зависитъ только отъ обозначенiя; мы получаемъ, такимъ образомъ комплексъ
, содержащiй
чиселъ
.
|
|
Если мы теперь начнемъ нашъ процессъ иначе, то мы можемъ либо выбрать первые два множителя отличными отъ
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
и
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
, напримѣръ составить комплексъ
![{\displaystyle R''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63011abb699949aaf67596fcac267a63f53888ab)
изъ
![{\displaystyle r-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad04896104e929da32fad148e240b3fd8dfa874)
чиселъ
,
|
|
или же сохранить одно изъ чиселъ
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
и
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
, т. е. составить, скажемъ, комплексъ
.
|
|
Согласно допущенiю, произведенiя чиселъ въ каждомъ изъ комплексовъ
,
и
не зависятъ отъ порядка вычисленiя; вслѣдствiе этого вычисленiе можно продолжать такъ, чтобы послѣ перваго-же прiема комплексы
и
, а также комплексы
и
дали тождественные результаты; именно, комплексы
и
, очевидно, могутъ дать комплексъ
;
|
|
комплексы-же
![{\displaystyle R'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cc152440f75fd8f842f4225a7484bb431b3343)
и
![{\displaystyle R'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af58b55964af3fe61c0f3cff10919804d3f4cfbd)
могутъ дать результатъ
.
|
|
А такъ какъ
![{\displaystyle R'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cc152440f75fd8f842f4225a7484bb431b3343)
, какъ уже было сказано, во всякомъ случаѣ даетъ одно и то же окончательное произведенiе, то то же произведенiе даютъ комплексы
![{\displaystyle R''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63011abb699949aaf67596fcac267a63f53888ab)
и
![{\displaystyle R'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af58b55964af3fe61c0f3cff10919804d3f4cfbd)
.
5. Изъ соотвѣтствующихъ предложенiй относительно сложенiя не-
- ↑ т. е. что результатъ не зависитъ отъ порядка процесса
Тот же текст в современной орфографии
его через
, будем писать
,
|
|
т. е. попросту напишем сомножителей один за другим.
Для доказательства высказанного утверждения, на которое опирается это определение [1], мы вновь воспользуемся совершенной индукцией. Как было доказано в п. п. 2 и 3, предложение это справедливо, когда
или же когда
(здесь нельзя ограничиться случаем
, т. к. при двух сомножителях ассоциативный закон не находит себе применения). Теперь примем, что наше предложение справедливо для произведения
сомножителей и докажем, что оно при этих условиях справедливо и для произведения
сомножителей. Итак, в системе
выберем прежде всего два числа и составим их произведение; за эти числа могут быть взяты
и
— это зависит только от обозначения; мы получаем, таким образом комплекс
, содержащий
чисел
.
|
|
Если мы теперь начнём наш процесс иначе, то мы можем либо выбрать первые два множителя отличными от
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
и
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
, например составить комплекс
![{\displaystyle R''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63011abb699949aaf67596fcac267a63f53888ab)
из
![{\displaystyle r-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad04896104e929da32fad148e240b3fd8dfa874)
чисел
,
|
|
или же сохранить одно из чисел
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
и
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
, т. е. составить, скажем, комплекс
.
|
|
Согласно допущению, произведения чисел в каждом из комплексов
,
и
не зависят от порядка вычисления; вследствие этого вычисление можно продолжать так, чтобы после первого же приёма комплексы
и
, а также комплексы
и
дали тождественные результаты; именно, комплексы
и
, очевидно, могут дать комплекс
;
|
|
комплексы же
![{\displaystyle R'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cc152440f75fd8f842f4225a7484bb431b3343)
и
![{\displaystyle R'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af58b55964af3fe61c0f3cff10919804d3f4cfbd)
могут дать результат
.
|
|
А так как
![{\displaystyle R'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cc152440f75fd8f842f4225a7484bb431b3343)
, как уже было сказано, во всяком случае даёт одно и то же окончательное произведение, то то же произведение дают комплексы
![{\displaystyle R''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63011abb699949aaf67596fcac267a63f53888ab)
и
![{\displaystyle R'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af58b55964af3fe61c0f3cff10919804d3f4cfbd)
.
5. Из соответствующих предложений относительно сложения не-
- ↑ т. е. что результат не зависит от порядка процесса