Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/48

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно изъ опредѣленiя, заключается въ слѣдующемъ:

2. Чтобы перемножить двѣ степени одного и того же основанiя, достаточно сложить показателей; въ символахъ:

. (4)

Справедливость этого равенства вытекаетъ изъ того, что справа и слѣва мы имѣемъ множителей, равныхъ . Это предложенiе при помощи индукцiи легко обобщается на произвольное число множителей.

, (5)
каковы бы ни были числа и каково бы ни было число ихъ .

3. Если въ равенствѣ (5) всѣ показатели равны между собой, то оно выражаетъ следующую вторую теорему о степеняхъ:

Чтобы возвысить степень въ новую степень, достаточно перемножить показателей, т. е.:

.

4. Чтобы возвысить въ степень произведенiе нѣсколькихъ сомножителей, можно возвысить въ эту степень каждый изъ сомножителей въ отдельности и полученныя произведенiя перемножить:

Если здѣсь вновь будемъ считать всѣ основанiя равными между собой, то мы, въ силу соотношенiя (5), вновь получимъ предложеніе 3.

5. Если число больше , то тѣмъ больше, чѣмъ больше показатель ; можно также выбрать число настолько большимъ, чтобы было больше любого заданнаго числа . Въ этомъ легко убѣдиться индуктивнымъ путемъ. Въ самомъ дѣлѣ, утвержденiе справедливо, если , потому что даже уже больше .

Если же , то . Такимъ образомъ, если наше утвержденiе справедливо для нѣкотораго значенiя , то оно справедливо также для .

Вмѣстѣ съ тѣмъ, если для нѣкотораго значенiя показателя , то тѣмъ болѣе , если имѣетъ значенiе большее, нежели .

6. Въ основанiи нашей десятичной системы счисленiя лежатъ степени числа . Число изображается съ нулями и образуетъ единицу n-го разряда. Число, изображаемое цифрами , имѣетъ значенiе

. (7)



Тот же текст в современной орфографии

Основная теорема относительно степеней, которая выводится непосредственно из определения, заключается в следующем:

2. Чтобы перемножить две степени одного и того же основания, достаточно сложить показатели; в символах:

. (4)

Справедливость этого равенства вытекает из того, что справа и слева мы имеем множителей, равных . Это предложение при помощи индукции легко обобщается на произвольное число множителей.

, (5)
каковы бы ни были числа и каково бы ни было число их .

3. Если в равенстве (5) все показатели равны между собой, то оно выражает следующую вторую теорему о степенях:

Чтобы возвысить степень в новую степень, достаточно перемножить показатели, т. е.:

.

4. Чтобы возвысить в степень произведение нескольких сомножителей, можно возвысить в эту степень каждый из сомножителей в отдельности и полученные произведения перемножить:

Если здесь вновь будем считать все основания равными между собой, то мы, в силу соотношения (5), вновь получим предложение 3.

5. Если число больше , то тем больше, чем больше показатель ; можно также выбрать число настолько большим, чтобы было больше любого заданного числа . В этом легко убедиться индуктивным путем. В самом деле, утверждение справедливо, если , потому что даже уже больше .

Если же , то . Таким образом, если наше утверждение справедливо для некоторого значения , то оно справедливо также для .

Вместе с тем, если для некоторого значения показателя , то тем более , если имеет значение большее, нежели .

6. В основании нашей десятичной системы счисления лежат степени числа . Число изображается с нулями и образует единицу n-го разряда. Число, изображаемое цифрами , имеет значение

. (7)