Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/57

тельное значенiе; если же имѣется нѣсколько отрицательныхъ произведенiй, то мы распредѣлимъ ихъ въ пары и перемножимъ сомножителей каждой пары, которые дадутъ положительныя произведенiя. Если послѣ этого остается еще одинъ отрицательный множитель, то произведенiе отрицательно; если же всѣ отрицательные множители могутъ быть распредѣлены въ пары, то произведенiе положительно.

Это заставляетъ насъ дѣлать слѣдующее различiе между натуральными числами. Если нѣкоторый комплексъ обладаетъ тѣмъ свойствомъ, что всѣ его элементы могутъ быть безъ остатка распредѣлены въ пары, то соотвѣтствующее число называется четнымъ; если послѣ распредѣленiя элементовъ въ пары, остается одинъ свободный элементъ, то соответствующее число называется нечетнымъ.

При помощи совершенной индукцiи можно безъ труда убѣдиться, что одно и то же число не можетъ быть одновременно четнымъ и нечетнымъ. За каждымъ четнымъ числомъ слѣдуетъ нечетное число, за нечетнымъ — четное.

1, 3, 5, 7, 9, 11 суть нечетныя; 2, 4, 6, 8, 10, 12 суть четныя числа.

Послѣ этого опредѣленiя мы можемъ выразить правило знаковъ при умноженiи следующимъ образомъ.

Произведенiе положительно, если число отрицательныхъ сомножителей четное, и отрицательно, если число отрицательныхъ множителей нечетное.

3. Когда установлено понятiе о произведенiи какого угодно числа сомножителей, то понятiе о степени отрицательнаго числа опредѣляется само собой. Степень отрицательнаго числа имѣетъ положительное значенiе, если показатель есть число четное, и отрицательное, если показатель есть число нечетное.

$(-a)^{n}=-a^{n}$,	если $n$ есть число четное,
$=-a^{n}$,	если $n$ есть число нечетное.

(8)

Въ частности квадратъ отрицательнаго числа всегда представляетъ собой положительное число.

Обратимъ еще вниманіе на слѣдующiй частный случай:

$(-1)^{n}=+1$,	если $n$ есть число четное,
$=-1$,	если $n$ есть число нечетное.

(9)

Послѣдней формулой часто пользуются, чтобы выразить, что нѣкоторое число, зависящее отъ $n$, имѣетъ положительное значенiе при четномъ $n$ и отрицательное значенiе при нечетномъ $n$. Такъ напримѣръ, соотношенiя (8) могутъ быть выражены такъ:

$(-a)^{n}=(-1)^{n}a$.

Тот же текст в современной орфографии

тельное значение; если же имеется несколько отрицательных произведений, то мы распределим их в пары и перемножим сомножителей каждой пары, которые дадут положительные произведения. Если после этого остается ещё один отрицательный множитель, то произведение отрицательно; если же все отрицательные множители могут быть распределены в пары, то произведение положительно.

Это заставляет нас делать следующее различие между натуральными числами. Если некоторый комплекс обладает тем свойством, что все его элементы могут быть без остатка распределены в пары, то соответствующее число называется чётным; если после распределения элементов в пары, остаётся один свободный элемент, то соответствующее число называется нечётным.

При помощи совершенной индукции можно без труда убедиться, что одно и то же число не может быть одновременно чётным и нечётным. За каждым чётным числом следует нечётное число, за нечётным — чётное.

1, 3, 5, 7, 9, 11 суть нечётные; 2, 4, 6, 8, 10, 12 суть чётные числа.

После этого определения мы можем выразить правило знаков при умножении следующим образом.

Произведение положительно, если число отрицательных сомножителей чётное, и отрицательно, если число отрицательных множителей нечётное.

3. Когда установлено понятие о произведении какого угодно числа сомножителей, то понятие о степени отрицательного числа определяется само собой. Степень отрицательного числа имеет положительное значение, если показатель есть число чётное, и отрицательное, если показатель есть число нечётное.

$(-a)^{n}=-a^{n}$,	если $n$ есть число чётное,
$=-a^{n}$,	если $n$ есть число нечётное.

(8)

В частности квадрат отрицательного числа всегда представляет собой положительное число.

Обратим ещё внимание на следующий частный случай:

$(-1)^{n}=+1$,	если $n$ есть число чётное,
$=-1$,	если $n$ есть число нечётное.

(9)

Последней формулой часто пользуются, чтобы выразить, что некоторое число, зависящее от $n$, имеет положительное значение при чётном $n$ и отрицательное значение при нечётном $n$. Так например, соотношения (8) могут быть выражены так:

$(-a)^{n}=(-1)^{n}a$.