ГЛАВА III.
Дѣленiе и введенiе дробей.
§ 14. Дѣленiе и дѣлимость чиселъ.
1. Если
и
суть натуральныя числа, то всегда можно опредѣлить положительное число
такимъ образомъ, чтобы
было больше, нежели
.
Въ самомъ дѣлѣ, если
, то теорема, очевидно, справедлива при всякомъ
, ибо
, и достаточно взять
, чтобы
было больше
(§ 8, 5); отсюда слѣдуетъ, что при всякомъ
и, слѣдовательно,
, если
.
Если
, то изъ всѣхъ значенiй числа
, удовлетворяющихъ неравенству
, имеется одно наименьшее. Это наименьшее число больше
; мы его обозначимъ поэтому черезъ
, такъ что
.
|
|
Если мы поэтому положимъ
,
|
|
то
![{\displaystyle r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894a83e863728b4ee2e12f3a999a09f5f2bf1c89)
, когда
![{\displaystyle qb=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1927fd8c8ece87b013d6785d0a69060a0d952455)
, а въ противномъ случаѣ
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
есть положительное число, меньшее, нежели
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
. Отсюда вытекаетъ слѣдующiй выводъ.
2. Если
и
суть два натуральныя числа и
, то можно опредѣлить положительное число
и другое число
, которое равно или больше
и меньше, нежели
, такимъ образомъ, что
;
|
(1)
|
эти числа
![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
и
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
однозначно опредѣляются числами
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
и
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
.
Процессъ разысканiя чиселъ
и
по заданнымъ числамъ
и
называется дѣленiемъ числа
на число
; число
называется дѣлимымъ,
дѣлителемъ,
частнымъ,
остаткомъ.
При этихъ условiяхъ говорятъ также, что число
содержится въ числѣ
разъ, при чемъ остается остатокъ
.
Тот же текст в современной орфографии
ГЛАВА III
Деление и введение дробей
§ 14. Деление и делимость чисел.
1. Если
и
суть натуральные числа, то всегда можно определить положительное число
таким образом, чтобы
было больше, нежели
.
В самом деле, если
, то теорема, очевидно, справедлива при всяком
, ибо
, и достаточно взять
, чтобы
было больше
(§ 8, 5); отсюда следует, что при всяком
и, следовательно,
, если
.
Если
, то из всех значений числа
, удовлетворяющих неравенству
, имеется одно наименьшее. Это наименьшее число больше
; мы его обозначим поэтому через
, так что
.
|
|
Если мы поэтому положим
,
|
|
то
![{\displaystyle r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894a83e863728b4ee2e12f3a999a09f5f2bf1c89)
, когда
![{\displaystyle qb=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1927fd8c8ece87b013d6785d0a69060a0d952455)
, а в противном случае
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
есть положительное число, меньшее, нежели
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
. Отсюда вытекает следующий вывод.
2. Если
и
суть два натуральные числа и
, то можно определить положительное число
и другое число
, которое равно или больше
и меньше, нежели
, таким образом, что
;
|
(1)
|
эти числа
![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
и
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
однозначно определяются числами
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
и
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
.
Процесс разыскания чисел
и
по заданным числам
и
называется делением числа
на число
; число
называется делимым,
делителем,
частным,
остатком.
При этих условиях говорят также, что число
содержится в числе
раз, причём остаётся остаток
.