Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/59

Съ этой задачей мы встрѣчаемся, напримѣръ, въ томъ случаѣ, если намъ бываетъ нужно, какъ это часто случается въ жизни, раздѣлить комплексъ, состоящiй изъ $a$ недѣлимыхъ объектовъ, на $b$ равныхъ частей. Вообще говоря, такое дѣленiе не совершается безъ остатка.

Какъ находятся числа $q$ и $r$, когда $a$ и $b$ заданы въ десятичной системе счисленiя, излагается въ элементарной ариѳметикѣ.

3. Если остатокъ равенъ $0$, то говорятъ также, что $a$ дѣлится на $b$, или что $b$ есть дѣлитель или множитель числа $a$, или что дѣленiе числа $a$ на $b$ совершается нацѣло, или наконецъ, что число $a$ кратно числа $b$. Такимъ образомъ, число $a$ дѣлится на $b$, если существуетъ такое целое число $m$, что

$a=mb$

(2)

4. Обобщая это опредѣленiе, мы будемъ говорить, что число $0$ дѣлится на всякое положительное или отрицательное число, имѣя въ виду, что равенство (2) удовлетворяется при всякомъ значенiи числа $b$, если положимъ $a=0$ и $m=0$. Мы будемъ также говорить, что число $-a$ дѣлится на $b$ или на $-b$, если $b$ есть число, отличное отъ нуля, и $a$ дѣлится на $b$. Но подъ дѣлителями числа мы будемъ разумѣть исключительно натуральныя (положительныя) числа.

5. Каждое число дѣлится на себя и на единицу, потому что соотношенiе (2) удовлетворяется, если положимъ $b=a$ и $m=1$ или $b=1$ и $m=a$.

6. Ни одно число, отличное отъ нуля, не дѣлится на нуль. Въ самомъ дѣлѣ, при $b=0$ соотношенiе (2) можетъ быть удовлетворено только тогда, если и $a=0$; въ этомъ же послѣднемъ случаѣ число $m$ можетъ имѣть совершенно произвольное значенiе.

Изъ даннаго выше опредѣленiя вытекаютъ далѣе следующiя предложенiя.

7. Произведенiе несколькихъ множителей

$p=a_{1}a_{2}a_{3}....a_{n}$

дѣлится на число $b$, если, по крайней мѣрѣ, одинъ изъ сомножителей дѣлится на $b$. Замѣтимъ, однако, что произведенiе можетъ иногда дѣлиться на $b$, хотя ни одинъ изъ множителей не дѣлится на $b$; такъ напримѣръ, $3.4$ дѣлится на $6$, хотя ни $3$ ни $4$ не дѣлятся на $6$.

8. Если два числа $a$ и $b$ дѣлятся на третье число $c$, то числа $a+b$ и $a-b$ также дѣлятся на $c$. Впрочемъ, это есть только частный случай следующаго болѣе общаго предложенiя:

Если каждое изъ чиселъ $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, .... $a_{n}$ дѣлится на число $b$,

Тот же текст в современной орфографии

С этой задачей мы встречаемся, например, в том случае, если нам бывает нужно, как это часто случается в жизни, разделить комплекс, состоящий из $a$ неделимых объектов, на $b$ равных частей. Вообще говоря, такое деление не совершается без остатка.

Как находятся числа $q$ и $r$, когда $a$ и $b$ заданы в десятичной системе счисления, излагается в элементарной арифметике.

3. Если остаток равен $0$, то говорят также, что $a$ делится на $b$, или что $b$ есть делитель или множитель числа $a$, или что деление числа $a$ на $b$ совершается нацело, или наконец, что число $a$ кратно числа $b$. Таким образом, число $a$ делится на $b$, если существует такое целое число $m$, что

$a=mb$

(2)

4. Обобщая это определение, мы будем говорить, что число $0$ делится на всякое положительное или отрицательное число, имея в виду, что равенство (2) удовлетворяется при всяком значении числа $b$, если положим $a=0$ и $m=0$. Мы будем также говорить, что число $-a$ делится на $b$ или на $-b$, если $b$ есть число, отличное от нуля, и $a$ делится на $b$. Но под делителями числа мы будем разуметь исключительно натуральные (положительные) числа.

5. Каждое число делится на себя и на единицу, потому что соотношение (2) удовлетворяется, если положим $b=a$ и $m=1$ или $b=1$ и $m=a$.

6. Ни одно число, отличное от нуля, не делится на нуль. В самом деле, при $b=0$ соотношение (2) может быть удовлетворено только тогда, если и $a=0$; в этом же последнем случае число $m$ может иметь совершенно произвольное значение.

Из данного выше определения вытекают далее следующие предложения.

7. Произведение нескольких множителей

$p=a_{1}a_{2}a_{3}....a_{n}$

делится на число $b$, если, по крайней мере, один из сомножителей делится на $b$. Заметим, однако, что произведение может иногда делиться на $b$, хотя ни один из множителей не делится на $b$; так например, $3.4$ делится на $6$, хотя ни $3$ ни $4$ не делятся на $6$.

8. Если два числа $a$ и $b$ делятся на третье число $c$, то числа $a+b$ и $a-b$ также делятся на $c$. Впрочем, это есть только частный случай следующего более общего предложения:

Если каждое из чисел $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, .... $a_{n}$ делится на число $b$,