ЭЛ/ДО/Бином

Биномъ
Энциклопедическій лексиконъ

Словникъ: Бинокулярный телескопъ — Брандтъ. Источникъ: т. VI: Бин—Бра, с. 1—2 ( сканъ · индексъ )

Проект «ЭЛ»

БИНОМЪ, въ Алгебрѣ, названіе всякаго выраженія, состоящаго изъ двухъ членовъ, соединенныхъ между собою знаками $+$ или $-$. Такъ напр. $a+b$, $a-b$, $3a^{2}b+c^{3}$, $5a^{2}b^{3}c-7d^{3}e$ суть Биномы. По-Русски слово Биномъ весьма удачно замѣняется словами: двучленъ, двучленное количество.

Подъ именемъ Ньютонова Бинома разумѣется алгебраическая Формула, служащая для возвышенія двучленныхъ количествъ въ степени. Формула эта представляется въ слѣдующемъ видѣ: $(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+{\frac {n(n-1)}{1.2}}a^{n-2}b^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}a^{n-3}.b^{3}.+etc.$ для $n$ цѣлаго и положительнаго. Она извѣстна была еще въ XVI столѣтіи. Въ сочиненіяхъ Французскаго математика Вьеты, славившагося въ концѣ того столѣтія, находимъ ясное тому свидѣтельство. Говоря о сравненіяхъ, къ которымъ приводится раздѣленіе дуги круга на нѣсколько равныхъ частей, онъ замѣчаетъ, что численные коэффиціенты въ этихъ уравненіяхъ суть числа треугольныя, пирамидальныя и проч., составленныя изъ натуральныхъ, начиная не съ единицы, какъ при составленіи степеней (ui potestatusu genesi), но съ 2. Въ другомъ мѣстѣ онъ прямо говорить, что Биномъ $a+b$, возвышенный въ степень $n$, гдѣ $n$ есть число цѣлое положительное, состоитъ изъ слѣдующаго ряда членовъ: $a^{n}+na^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}a^{n-2}b^{2}+etc.$ Послѣ этого, кажется, легко было заключить, что какое бы ни было число $n$, положительное или отрицательное, цѣлое или дробное, раціональное или ирраціональное, приведенная Формула для разложенія Бинома всегда имѣетъ мѣсто. Но ни Вьетъ, и ни кто другой изъ его современниковъ, не сдѣлали такого заключенія, — это предоставлено было великому Ньютону.

Около 1663 года, занимаясь пріисканіемъ строки, выражающей площадь круга, Ньютонъ замѣтилъ, что строка $x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{32}}-{\frac {x^{8}}{128}}$, получаемая чрезъ обыкновенное извлеченіе квадратнаго корня изъ $1-x^{2}$, получается также, если въ строкѣ $1-mx^{2}+{\frac {m(m-1)}{1.2}}x^{4}-etc.={(1-x^{2})}^{m}$, вмѣсто числа $m$ поставить ½. Переходя отъ этого частнаго случая къ общему, онъ показалъ наконецъ, что общее выраженіе степени Бинома $(a+b)^{n}=a^{n}{(1+{\frac {b}{a}})}^{n}$ есть $a+na^{n-1}b+{\frac {n(n-1)}{1.2}}a^{n-2}b^{2}+etc.$ каково бы ни было число $n$. Въ послѣдствіи предложено множество различныхъ доказательствъ для подтвержденія этой формулы, весьма важной по употребленію ея въ анализъ.

Когда $n$ есть число цѣлое положительное, то строки $a^{n}+na^{n-1}b+{\frac {n\left(n-1\right)}{1.2.}}a^{n-2}b^{2}+$ etc. всегда будутъ состоять изъ опредѣленнаго числа членовъ, и легко замѣтить, что число ихъ равно $n+1.$ Въ этомъ случаѣ оно единственно служитъ для возвышенія двучленныхъ количествъ въ степени. Такъ напр. полагая $n=2,$ $=3,$ $=4,$ $=5$ и пр. будемъ имѣть: $\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},$ $\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3},$ $\left(a+b\right)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4},$ $\left(a+b\right)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+$ и проч. Впрочемъ Формула Бинома можетъ быть съ пользою употребляема и при составленіи степеней какого ни есть многочисленнаго количества. Пусть требуется напр. возвысить трехчленное количество $a+b+c$ въ четвертную степень. Принявъ Биномъ $b+c$ за одинъ члена, и означивъ его буквою $d$, будемъ имѣть: $\left(a+b+c\right)^{4}=\left(a+d\right)^{4}=a^{4}+4a^{3}d+6a^{2}d^{2}+4ad^{3}+d^{4},$ Вычисливъ по той же формулѣ $d^{2},$ $d^{3},$ $d^{4},$ и сдѣлавъ подстановленіе въ предъидущемъ равенствѣ, получимъ: $\left(a+b+c\right)^{4}=a^{4}+4a^{3}\left(b+c\right)+6a^{3}\left(b^{2}+2bc+c^{2}\right)+b^{4}+4b^{3}c+6b^{2}c^{2}+4bc^{3}+c^{4}.$

Когда же $n$ будетъ число цѣлое, но отрицательное, либо положительная или отрицательная, конечная или безконечная дробь, то строка будетъ безконечная. Въ этомъ случаѣ употребленіе ея гораздо обширнѣе, нежели въ предъ идущемъ. Въ Алгебрѣ она служитъ основаніемъ теоріи строкъ; въ дифференціальномъ и интегральномъ исчисленіяхъ имѣетъ также весьма частое приложеніе. Но надобно замѣтить, что въ настоящемъ случаѣ, т. е. когда $n$ означаетъ какое угодно число, равенство $\left(a+b\right)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+{\frac {n\left(n-1\right)}{1.2.}}a^{n-2}b^{2}+\dots$ etc., не при всѣхъ величинахъ количествъ $a$ и $b$ имѣетъ мѣсто. Оно справедливо только тогда, когда частное ${\frac {b}{a}}$ не выходитъ изъ предѣловъ $-1$ и $+1$. Въ противномъ случаѣ оно приведетъ къ ложнымъ послѣдствіямъ. И. Соколовъ .