ЭСБЕ/Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Десмургия — Домициан. Источник: т. Xa (1893): Десмургия — Домициан, с. 688—705 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Дифференциальное исчисление. — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению Д. исчисления послужили задачи о проведении касательной прямой к кривым линиям, а также задачи на maxima и minima, которыми занимались с усердием математики XVI и XVII ст. Причины же появления нового исчисления лежат глубже в существе дела, и это исчисление рано или поздно должно было в той или другой форме появиться. Уже в способе исчерпываний древних греческих математиков надо видеть зачатки новых идей; Архимед, решая разные задачи на квадратуру криволинейных фигур, спрямление дуг, вычисление объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями, предвосхитил идеи современного интегрального исчисления. Честь изобретения нового исчисления принадлежит двум выдающимся умам XVII ст.: знаменитому английскому натурфилософу и математику Исааку Ньютону (1649—1727) и философу Лейбницу (1646—1716). История изобретения Д. исчисления в высшей степени поучительна, ибо показывает, как большие научные открытия подготовляются целым рядом предшествующих работ. В самом деле, уже у Кеплера (1615), Кавальери (1635) и в особенности у Фермата мы встречаемся с замечанием по поводу задач на maxima и minima, состоящим в том, что вблизи наибольшего или наименьшего своего значения переменная величина изменяется лишь весьма мало. Последнее замечание, высказанное несколько в ином виде, дало Фермату способ решения задач на maxima и minima, близкий к способу Д. исчисления. С другой стороны, и для задачи проведения касательных к кривым были указаны разнообразные приемы. Роберваль дал механический метод, состоявший в рассмотрении заданной кривой как траектории в движении точки, причем направление движения в каждой точке траектории принималось за направление искомой касательной и строилось разложением движения точки на составляющие движения и построением скоростей этих последних. Декарт (см.), творец аналитической геометрии, дал известное решение задачи о касательной к кривым линиям, называемым рулетами (см.); кроме того, он, показав, как определять кривую линию уравнением между координатами (см. Аналитическая геометрия), дал аналитический прием для нахождения уравнения искомой касательной. Соображения почти тожественные с методой Декарта употребляли для решения задачи о касательных Фермат и Барров (учитель Ньютона). У Фермата и в особенности у Баррова рассуждения почти тожественны с употребляющимися в Д. исчислении.

Мы приводим вышесказанное никак не с целью умаления значения заслуг Ньютона и Лейбница, но для оправдания права на одновременное независимое изобретение обоих философов. Идеи нового исчисления уже настолько созрели и, так сказать, носились в умах, что вполне естественно, что Ньютон и Лейбниц могли сделать открытие совершенно независимо, не переговариваясь и не заимствуя друг у друга. Спор из-за чести открытия Д. исчисления, возникший между английскими и континентальными учеными, однако, настолько любопытен, что необходимо упомянуть о нем. Дело было так: Лейбниц опубликовал Д. исчисление в 1684 г. (раньше Ньютона) в мемуаре под заглавием: «Nova methodus pro maximis et minimis itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus». В этой работе заключались первые начала Д. исчисления. Начала интегрального исчисления Лейбниц изложил в 1686 г. в мемуаре: «De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum». Через два года после того, как Лейбниц обнародовал свои труды, Ньютон выпустил первое издание своих математических начал натуральной философии «Philosophiae naturalis principia mathematica». В этом бессмертном сочинении он объяснил посредством наблюдений и вычислений главные явления природы и преимущественно движения небесных тел. В своих «Principia» Ньютон всюду применяет особый способ, названный им способом флюксий. Этот способ, совпадая по существу с Д. исчислением Лейбница, отличается от последнего только законоположением, что мы увидим далее. Всякому, кто хоть немного познакомится с «Principia» Ньютона, станет очевидно, что способ флюксий не мог быть изобретен и получены такие обширные его применения в короткое время двух лет, прошедших от появления лейбницевской работы. Первостепенные немецкие и английские математики, соединяя с первенством этого важного открытия понятие о народной славе, защищали права родного им геометра. Зачинщиком спора был женевский математик Fatio de Duillier, поселившийся в Лондоне. Подстрекаемый англичанами, с одной стороны, а может быть, и личной неприязнью к Лейбницу, он в письме к Гюйгенсу от ¹⁸/₂₈ декабря 1697 г. назвал Ньютона первым изобретателем Д. исчисления и намекнул на то, что Лейбниц заимствовал свой способ из переписки с Ньютоном. Фацио повторил содержание письма в напечатанном сочинении о кривой наискорейшего ската и о теле наименьшего сопротивления. На это оскорбление Лейбниц отвечал с умеренностью, что отнюдь не желает вступать в спор о первенстве с Ньютоном, к которому исполнен глубокого уважения, и надеется, что Ньютон не одобрит поступка Фацио. Нападки Фацио были забыты на несколько лет. Новый случай подал повод к возобновлению спора. В 1704 г. были изданы два сочинения Ньютона: «De quadratura curvarum» и «Enumeratio linearum tertii ordinis». Разбор этих сочинений, помещенный в Лейпцигских Актах и, как думают, с согласия Лейбница, был не совсем благоприятен для Ньютона. Английские математики оскорбились этим отзывом. Один из них, Кейль, в «Philosophical Transactions» за 1708 г. поместил статью, в которой назвал Ньютона первым изобретателем способа флюксий и присовокупил, что Лейбниц переменил только название способа и его знакоположение. Лейбниц, видя, что Кейль явно обвиняет его в присвоении чужого открытия, отнесся письмом к Гансу Слону (Hans Sloane), секретарю Лондонского королевского общества, требуя, чтобы автор этой статьи гласно отрекся от слов своих. На это Кейль отвечал письмом к Слону, что не может отказаться от своего мнения, и прибавил, что Ньютон сообщил о своем способе столько намеков Лейбницу, что даже ум посредственный мог бы разгадать тайну. Это письмо было сообщено Лейбницу, который после того обратился к Королевскому обществу с настоятельной просьбой прекратить необдуманные нападки человека, который желает очернить его доброе имя. Королевское общество нарядило комиссию для рассмотрения спорного дела. Комиссия представила свое мнение, основанное на разных документах, которые и были напечатаны в первый раз в 1712 г. под заглавием: «Commercium epistolicum de Analysi promota» и потом с большими добавлениями в 1722 г.

Донесение комиссии Королевскому обществу, как и следовало ожидать, было благоприятно для Ньютона, причем Ньютон был назван первым изобретателем Д. исчисления, и было заявлено, кроме того, что во всем сказанном Кейлем не заключается ничего оскорбительного для Лейбница. Донесение это раздражило Лейбница, и спор продолжался. Разные безымянные сочинения были изданы на континенте, в которых нападали скорее на Ньютона, чем защищали Лейбница. Английские математики отвечали на них. — Лейбниц, желая, как он выразился, пощупать пульс у англичан, предложил им через других математиков задачу о траекториях. Вопрос состоял в определении кривой линии, пересекающей ряд данных кривых одного и того же рода под углом или постоянным, или изменяющемся по известному закону. Ньютон, к которому собственно относился вызов, немедленно предложил способ для приведения этого вопроса к дифференциальному уравнению. В это время умер Лейбниц (1716). Иван Бернулли, вступаясь за дело знаменитого германского геометра, прочитал решение Ньютона и объявил, что оно вовсе не удовлетворительно, потому что главное затруднение состоит в интегрировании дифференциального уравнения, чего не сделал Ньютон (см. Траектории). — С этого времени, насколько известно, Ньютон, с одной стороны, обеспеченный своей громкой славой, а с другой — по преклонности лет, не принимал уже никакого участия в распре; но некоторые приверженцы и ученики его не покинули поприща прений. Наиболее отличившийся на нем был известный Тейлор. Принимая в соображение все обстоятельства дела, в настоящее время можно с уверенностью признавать первым изобретателем Д. исчисления Ньютона, или, вернее, считать Д. исчисление произведением школы английских математиков. Воздавая должное Ньютону, нет никакого основания, с другой стороны, обвинять Лейбница в плагиате. В науке вообще и в математике в частности часто одного намека на существование некоторого результата в известной области достаточно для того, чтобы выдающийся ум нашел этот результат без дальнейших указаний. Так, очевидно, и было дело с Лейбницем, тем более, что в 1673 г. Лейбниц посетил Лондон и беседовал с английскими математиками, а кроме того, и Ньютон намекал на способ флюксий в своих письмах.

Новое исчисление, вводя в рассмотрение бесконечно малые величины, разбивая их на порядки и предписывая в своих правилах часто отбрасывать бесконечно малые высшего порядка при сравнении с бесконечно малыми низшего порядка, уже при появлении своем нашло многочисленных противников: голландец Ниейвентит (Nieuwentit), аббат Кателан, Деттлеф Клювье, англичанин Беркли (Berkeley), наиболее выдающиеся из числа противников, своими нападками показали только, что они не поняли существа нового учения. Не касаясь поэтому более подробно нападок этих лиц, тем не менее нужно заметить, что введение в математику понятия о бесконечно малых казалось также и выдающимся математикам нежелательным и уничтожающим в математике строгость доказательств древнегреческих геометров. Между прочим, знаменитый франц. математик Лагранж в своем сочинении: «Theorie des fonctions analytiques» (1797) изложил Д. исчисление, не вводя понятия о бесконечно малой величине. В Англии новое исчисление служило предметом занятий ряда талантливых учеников и последователей Ньютона, из которых всеобщую известность получили: Тейлор (Taylor), изложивший Д. исчисление в своем труде: «Methodus incrementorum» (1717), в котором встречаем в первый раз его знаменитую формулу, о которой будет сказано ниже; Моавр и Маклорен, написавший: «Traité des fluxions», представляющее первое из более строгих изложений способа флюксий. Новое исчисление, дав толчок к новым математическим изысканиям, открыло богатое поле для деятельности ряда поколений выдающихся математиков. На континенте образуются к этому времени две школы математиков: швейцарская и французская, которые обе примкнули к идеям Лейбница. К швейцарской школе принадлежат: знаменитая семья выдающихся математиков Бернулли, а также один из величайших математиков всех времен — Эйлер, которого Петербургская акад. наук имела счастье считать своим членом в продолжение более 30 лет. Во главе же франц. школы стояли Даламбер, Лагранж, Клеро и Лаплас. Оставляя перечисление способов изложения Д. исчисления до конца настоящей статьи, перейдем теперь к изложению Д. исчисления в том виде, как оно излагается в настоящее время.

В элементарной математике каждой из букв, вводимой в вычисление, приписывается одно вполне определенное значение. В Д. исчислении мы встречаемся с понятием другого рода.

Черт. 1.

Определение I. Если в некотором вопросе задан ряд бесконечного числа чисел

$u_{0},u_{1},u_{2},\dots u_{n},\dots$

вполне вопросом определенный, то, если обозначать какое-нибудь из этих чисел, не указывая, какое именно, одной буквой $U$ (без знака), то буква $U$ выразит так называемую переменную величину. Каждое из чисел заданного ряда называется частным значением переменной $U$. Каждое частное значение, будучи некоторым вполне определенным числом, будет то, что принято называть величиной постоянной, хотя постоянную величину лучше определять, как переменную, имеющую равные между собой частные значения.

Примеры: 1) Опишем из начала координат (см. Геометрию и Координаты) круг радиусом, равным единице, и возьмем на окружности этого круга какую-нибудь точку $M$, не указывая, какую именно; опустим из точки $M$ перпендикуляр $MP$ на ось $x$-ов; соединяя точку $M$ с началом координат, получим прямоугольный треугольник $OMP$, из кот. замечаем, что $OM^{2}=OP^{2}+PM^{2}$ или $1=OP^{2}+PM^{2}$, ибо $OM=1$. Но $OPM$ есть абсцисса $x$ точки $M$, а $PM$ ее ордината $y$. Получим уравнение (*) $x^{2}+y^{2}=1$, связывающее координаты $x$ и $y$ точки $M$ круга. В последнем уравнении (*) $x$ есть одна из абсцисс точек круга, не указывая, которая именно, и следовательно, она есть переменная величина, частным значением которой может быть любое из чисел, лежащих в границах от −1 до +1, ибо точка $P$ на оси $x$-ов, соответствующая точке $M$ круга, может приходиться только между точками $A$ и $A_{1}$, соответствующими значениям +1 или −1.

2) В теории чисел доказывается следующая теорема: Всякое простое целое число, которое от деления на 4 дает в остатке единицу, может быть представлено в виде суммы квадратов двух целых чисел. Напр., 5 = 12 + 22, 13 = 22 + 32, 17 = 12 + 42, 29 = 22 + 52 и т. д. Если назовем какое-нибудь из простых чисел сказанного вида, не указывая, которое именно, одной буквой $x$, то приведенное свойство может быть записано равенством: $x=a^{2}+b^{2}$, где $a$ и $b$ некоторые целые числа, и буква $x$ выразит переменную величину, частными значениями которой будут числа 5, 13, 17, 29 и т. д.

Определение II. Абсцисса $x$ точки круга в первом примере, как переменная величина, имеющая частными значениями все числа в границах от −1 до +1, дала пример переменной непрерывной. Переменная же величина $x$ во втором примере имеет частные значения, идущие скачками, и потому оказывается переменной прерывной.

Определение III. Если можно указать такое постоянное число $a$, что среди частных значений переменной $x$ могут быть указаны отличающиеся сколь угодно мало (не совпадая, впрочем) от этого числа, то число $a$ называется пределом переменной.

Возьмем переменную $x$, определяемую рядом чисел

$\displaystyle 5+{\tfrac {1}{1}},\,5+{\tfrac {1}{2}},\,5+{\tfrac {1}{3}},\dots ,5+{\tfrac {1}{n}},\dots ;$

число 5 есть предел этой переменной $x$. Если возьмем некоторое целое число $n$, не указывая, которое именно, то переменная $x$ выразится $x=5+{\tfrac {1}{n}}$. Если нумер $n$ соответственного частного значения переменной в заданном ряду будем увеличивать, то дробь ${\tfrac {1}{n}}$ будет убывать и $x$ будет отличаться все меньше и меньше от числа 5. Какое бы большое $n$ мы ни взяли, соответственное частное значение $5+{\tfrac {1}{n}}$, будучи близко к числу 5, все-таки не совпадет с ним. Итак, среди частных значений переменной не существует совпадающих с числом 5. Покажем теперь, что можно указать такой номер $n$ частного значения $5+{\tfrac {1}{n}}$, чтобы это частное значение отличалось от 5 меньше наперед произвольно заданного малого числа $\varepsilon$. Для этой цели нужно положить $x-5=(5+{\tfrac {1}{n}})-5={\tfrac {1}{n}}<\varepsilon$; тогда получим: $n>{\tfrac {1}{\varepsilon }}$. Всякое частное значение, номер которого больше ${\tfrac {1}{\varepsilon }}$, отличается от числа 5 меньше чем на $\varepsilon$. Итак, сколь бы малое число $\varepsilon$ мы ни задали, всегда можно указать бесчисленное множество частных значений $x$, отличающихся от числа 5 менее чем на $\varepsilon$. Отсюда мы заключаем, что число 5 есть предел переменной $x$. В определении сказано, что число $a$ не должно совпадать ни с одним частным значением $x$, ибо в противном случае число $a$ было бы не пределом переменной, а ее частном значением. Для обозначения предела принято особое знакоположение:

$a=$ пред.($x$), или $a=\lim(x)$.

Понятие о пределе встречается уже с первых шагов изучения математики. Так, напр., когда мы пишем: 0,3333… = ⅓, то этим равенством мы выражаем, что ⅓ есть предел переменной $x$, частные значения которой суть: 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333 и т. д., и под символом 0,3333… подразумевается не что иное, как сказанный предел. А так как этот предел действительно равен ⅓, то и пишут 0,(3) = ⅓. В этих двух примерах пределами были числа, соизмеримые 5 и ⅓. Но часто пределами переменной бывают числа несоизмеримые, и тогда эти пределы не могут быть указаны непосредственно; обычно делают обратное, т. е. определяют несоизмеримые числа как пределы переменных, частные значения которых соизмеримы. Например переменная $x$, определяемая рядом

$1,\,1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}},\,1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}={\frac {7}{5}},\,1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}={\frac {17}{12}},$ и т. д.

имеет, как известно из теории непрерывных дробей, своим пределом несоизмеримое число ${\sqrt {2}}$ (корень из 2); а потому это несоизмеримое число ${\sqrt {2}}$ можно определять, как предел заданной переменной. Определение несоизмеримого числа, как предела переменной, имеющей частные значения соизмеримые, дает возможность вычислять несоизмеримое число с любой степенью точности. Вычислить несоизмеримое число с точностью до дроби ${\tfrac {1}{p}}$ значит указать такое частное значение переменной, которое бы отличалось от заданного несоизмеримого числа, как предела, менее чем на дробь ${\tfrac {1}{p}}$. Укажем еще на классический пример определения несоизмеримых чисел, как пределов переменных; в геометрии определяется число $\pi$, выражающее площадь круга при радиусе, равном единице, как предел переменной величины, частные значения которой суть: площади вписанных равносторонних: треугольника, четырехугольника, пятиугольника и т. д. Данное нами определение предела весьма краткое, а потому не совсем строгое. Настоящее определение предела будет такое: если дана переменная величина, то нужно перенумеровать ее частные значения

$u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\dots u_{n},\dots ;$

если мы теперь докажем, что при произвольном значении целого числа $n$ разность $u_{n-m}-u_{n}$ при достаточно большом $n$ может быть сделана меньше $\varepsilon$ и останется меньше этого числа при всех $n$ бóльших, где некоторое произвольно малое заданное число, то можно утверждать, что переменная и стремится к некоторому пределу.

Определение IV. Если среди частных значений переменной величины существуют меньшие всякого произвольно наперед заданного малого числа $\varepsilon$ (не обращающиеся, впрочем, в ноль), то такая переменная называется бесконечно малой. Возьмем, например, переменную, определяемую рядом

${\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {1}{3}},\,{\frac {1}{4}},\dots {\frac {1}{n}},\dots$.

Если укажем теперь номер $n$ частного значения такой, что $n>{\tfrac {1}{\varepsilon }}$, где $\varepsilon$ малое заданное произвольно число, то соответствующее частное значение будет меньше $\varepsilon$, чего и требовалось достигнуть. Переменная $x$ в данном случае, согласно нашему определению, может быть названа бесконечно малой. Ясно, что бесконечно малую величину можно определить, как имеющую пределом ноль, что можно записать так

пред.$(x)=0$.

Определение V. Если среди частных значений переменной величины существуют большие всякого наперед произвольно заданного большого числа, то такая переменная называется бесконечно большой. Например, если мы через $x$ обозначим какое-нибудь из целых простых чисел, не указывая, которое именно, то переменная $x$ будет бесконечно большая, ибо в арифметике доказывается, что простых чисел бесконечное множество, и следовательно, существуют сколь угодно большие простые числа. Бесконечно большие величины суть числа, не имеющие предела; но условно говорят иногда, что бесконечно большая величина имеет пределом бесконечность, так что пишут:

пред.$(x)=\infty$.

Впрочем, последнее равенство надо понимать как условное обозначение того, что переменная величина $x$ бесконечно большая. Переменные, имеющие пределы, отличные от ноля и бесконечности, а также числа постоянные называются величинами конечными. Не надо смешивать условные термины «бесконечно малая величина» и «бесконечно большая величина» с физическим понятием «очень большая величина» и «очень малая величина». Так, напр., расстояние между небесными светилами мы называем очень большими величинами, тогда как размеры микроорганизмов — очень малыми. Термины же Д. исчисления «бесконечно большая величина» и «бесконечно малая величина» могут быть прилагаемы только к величинам переменным, причем тут идет дело не столько о численной величине переменной, сколько о том, что условия вопроса не мешают переменной иметь сколь угодно большие или малые частные значения.

Одна и та же переменная величина, судя по условиям вопроса, может быть рассматриваема как бесконечно большая или бесконечно малая. Так, напр., расстояние между двумя точками на плоскости может быть рассматриваемо, как величина бесконечно малая, если условия вопроса не мешают точкам сближаться между собой, и как бесконечно большая, если условия вопроса не мешают точкам удаляться друг от друга. Расстояние точки, лежащей внутри некоторого определенного круга, до центра может быть названо величиной бесконечно малой, но не есть величина бесконечно большая, ибо не может быть больше радиуса. Расстояние между центрами двух твердых неупругих материальных шаров есть величина бесконечно большая, если условия вопроса не мешают этим двум шарам удаляться друг от друга, и ни в каком случае не будет величиной бесконечно малой, ибо оно не может быть сделано менее суммы радиусов.

Рассмотрение величин конечных и бесконечно больших может быть сведено к рассмотрению бесконечно малых. В самом деле, если в какой-нибудь вопрос входит величина $x$, имеющая пределом $a$, то мы можем ввести новую переменную $y=x-a$; тогда: пред.$(y)=$ пред.$(x)-a=a-a=0$, так что y — переменная бесконечно малая. Подобным же образом можно, вместо рассмотрения бесконечно большой величины $x$, ввести в рассмотрение величину бесконечно малую: $y={\tfrac {1}{x}}$. Отсюда является важность изучения свойств величин бесконечно малых.

Бесконечно малые величины разделяются по порядкам малости, причем, конечно, порядки бесконечно малых величин указываются не абсолютно, а относительно. Если заданы две бесконечно малые величины $\alpha$ и $\beta$, то мы можем относительно них утверждать только одно из трех: или их порядки одинаковы, или порядок $\alpha$ выше порядка $\beta$, или же, наконец, порядок $\alpha$ ниже порядка $\beta$. Чтобы узнать, который из указанных случаев имеет место, берут отношение бесконечно малой величины ${\tfrac {\beta }{\alpha }}$; это отношение есть переменная величина, которая, при уменьшении $\alpha$ и $\beta$ до нуля, может стремиться к пределу, равному некоторому числу $a$, или же дробь ${\tfrac {\beta }{\alpha }}$ величина бесконечно малая, и следовательно, пред.$\left({\tfrac {\beta }{\alpha }}\right)$ = 0, или же, наконец, пред.$\left({\tfrac {\beta }{\alpha }}\right)=\infty$. В первом случае порядки величин $\alpha$ и $\beta$ одинаковы; во втором $\beta$ бесконечно мала в сравнении с $\alpha$, и следовательно, ее порядок выше; в третьем же случае порядок $\beta$ ниже порядка $\alpha$. Напр., возьмем две величины: $\alpha$ и $\sin \alpha$, где $\alpha$ бесконечно малая дуга. Рассмотрим пред.$\left({\tfrac {\sin \alpha }{\alpha }}\right)$. Из геометрии известно, что дуга меньшая 90° всегда больше своего sinus'a и меньше tangens'a, а потому $\sin \alpha <\alpha <{\mbox{tang}}\alpha$. Разделяя на три части последнего неравенства равенство $\sin \alpha =\sin \alpha =\sin \alpha$, получим:

${\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha }}>{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}>{\frac {\sin \alpha }{{\mbox{tang}}\alpha }}$ или $1>{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}>\cos \alpha$.

Итак, дробь ${\tfrac {\sin \alpha }{\alpha }}$, при всяких $\alpha$, меньших 90°, заключается по численной своей величине между 1 и $\cos \alpha$, но последняя величина, по мере приближения $\alpha$ к 0, стремится к 1, следовательно, дробь ${\tfrac {\sin \alpha }{\alpha }}$, заключающаяся между 1 и переменной величиной, имеющей пределом 1, имеет пределом также единицу. Отсюда мы заключаем, что две бесконечно малые величины $\alpha$ и $\sin \alpha$ одного и того же порядка малости.

Если задано несколько переменных величин $\alpha ,\beta ,\gamma ,\dots$, тогда одну из них, напр. $\alpha$, принимают за главную и указывают порядки малости других из данных бесконечно малых величин по сравнению с этой последней, причем порядок величины $\beta$ будет равен числу $n$, если пред.$\left({\frac {\beta }{\alpha ^{n}}}\right)=k$, где $k$ — некоторое конечное число, отличное от ноля. Общий вид величины $n$-ого порядка есть $\alpha ^{n}(k+\varepsilon )$, где $\alpha$ — главная бесконечно малая величина, а $\varepsilon$ — другая, тоже бесконечно малая величина.

О функциях. Если две переменные величины $x$ и $y$ заданы так, что каждому частному значению одной из них, напр. $x$, будет соответствовать одно или несколько определенных значений другой, т. е. $y$, и наоборот, то говорят, что эти переменные зависят друг от друга, причем одну из них называют зависимой переменной, или функцией от другой, которую называют независимой переменной; напр., если через $x$ обозначим радиус некоторого шара, не указывая, какого именно, а через $y$ его объем, то получится как раз случай двух переменных $x$ и $y$, из которых одну можно считать функцией другой, ибо длиной радиуса определяется объем шара, и обратно. Всякая формула, заключающая какую-нибудь перем. вел. $x$, есть функция этой последней, напр. $y={\frac {\sqrt[{3}]{1-x^{3}}}{{\mbox{lg}}x}}$. В последней формуле показаны те действия, которые надо произвести над переменной независимой $x$, чтобы получить соответствующее значение функции (более подробные сведения см. в статье о Функциях). Для обозначения функции принято особое знакоположение: если $y$ есть функция от $x$, то это записывается таким образом $y=f(x)$. Если в рассмотрение приходится вводить несколько пункций, то эти пункции обозначается или равными буками, как, напр.: $F(x),\,\varphi (x),\,\psi (x),\Phi (x),\Pi (x),\omega (x),\dots$, или же разными значками: $f_{1}(x),\,f_{2}(x),\dots$. Если функция представлена в виде некоторой формулы, заключающей независимую переменную, то функцию называют явной, если же для получения функции надо решать уравнение, то функция называется неявной, например: $y^{2}+yx+x^{3}=0$. Последнее уравнение через решение относительно $y$ дает выражение $y$ в виде явной функции от $x$. Функцию мы называем однозначной, если каждому значению независимого переменного соответствует одно значение функции, напр. $x^{2},\,ax+b,\,\sin x$, и наоборот, функция называется многозначной, если каждому значению независ. перем. соответствуют несколько значений функции, например ${\sqrt {x}}.$

Итак, возьмем какую-нибудь функцию $y=f(x)$. Пусть $x_{0}$ будет некоторое частное значение независ. перем., которое назовем начальным. Кроме того, пусть будет $x_{1}$, другое частное значение, которое будем называть приращенным. Разность $x_{1}-x_{0}$ будет так называемое приращение переменной $x$. Это приращение будем обозначать $\Delta x_{0}$. Отсюда мы видим, что приращенное значение $x_{1}=x_{0}+\Delta x_{0}$. Подставляя в выражение нашей функции вместо $x$ значение $x_{0}$, получим соответственное значение функции $y_{0}$, равное $f(x_{0})$ которое будет начальным значением функции. Приращенное значение $y_{1}=f(x_{1})$ получится, если мы $y_{0}$ дадим приращение $\Delta y_{0}$, равное $y_{1}-y_{0}$; так что $y_{1}=y_{0}+\Delta y_{0}$.

Черт. 2.

Определение. Функция $y=f(x)$ в сопредельности с частным значением $x_{0}$ независ. перем. называется функцией непрерывной, если бесконечно малому приращению $\Delta x_{0}$ независ. перем. соответствует также бесконечно малое приращение $\Delta y_{0}$ функции. Графически изменение величины непрерывной функции в зависимости от изменения независ. перем. обычно может быть изображено некоторой непрерывной кривой линией, расположенной в плоскости, причем значения незав. перем. $x_{0},\,x_{1},\dots$ откладываются по оси абсцисс, а соответствующие значения функции $y_{0},y_{1},\dots$ по ординатам. Хотя можно составить примеры функций, непрерывных в смысле, указанном в определении, которые бы не имели геометрического представления в виде непрерывной кривой линии, но обычно в Д. исчислении ограничиваются рассмотрением функций, непрерывных в указанном выше смысле.

Итак, займемся рассмотрением непрерывных функций. $\Delta x_{0}$ и $\Delta y_{0}$ суть бесконечно малые величины. Оказывается, что обычно порядки малости этих приращений одинаковы; так что пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta y_{0}}{\Delta x_{0}}}\right)_{\Delta x_{0}=0}=k$, где $k$ некоторое конечное число, вообще говоря, отличное от нуля и равное некоторой функции от $x_{0}$, которая называется производной и нахождение которой по заданной функции $f(x)$ составляет главный предмет Д. исчисления.

Ньютон называл независимую переменную величиной равномерно текущей (quantitas pariter fluens), функцию $y$ — текущей (fluens), a производную — флюксией, или течением (fluxio). (Происхождение этого названия увидим далее, когда скажем об определении скоростей в неравномерном движении). Возьмем, например, функцию

$y=x^{3}$. Тогда: $\Delta y_{0}=y_{1}-y_{0}=f(x_{1})-f(x_{0})=f(x+\Delta x_{0})-f(x_{0})=$ $=(x_{0}+\Delta x_{0})^{3}-x_{0}^{3}=x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}\Delta x_{0}+3x_{0}(\Delta x_{0})^{2}+(\Delta x_{0})^{3}-x_{0}^{3}=$ $=3x_{0}^{2}\Delta x_{0}+3x_{0}(\Delta x_{0})^{2}+(\Delta x_{0})^{3}$.

Отсюда ${\frac {\Delta y_{0}}{\Delta x_{0}}}=3x_{0}^{2}+3x_{0}\Delta x_{0}+(\Delta x_{0})^{2}$, откуда заключаем, что

пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta y_{0}}{\Delta x_{0}}}\right)_{\Delta x_{0}=0}=3x_{0}^{2}$.

Итак, мы видим, что для функции $x^{3}$ производная есть функция $3x^{2}$. Ньютон обозначал производную от функции $y$ символом ${\dot {y}}$. В настоящее время наиболее распространено обозначение Лагранжа: $f'(x)$, или $y'$ для обозначения производной от функции $f(x)$. Кроме того, употребительно обозначение Аброгаста: $y'=Dy$. Лейбниц в своем изложении вводит новое понятие, равносильное производной функции, а именно, понятие о так называемом дифференциале функции. Мы уже сказали, что для данной непрерывной функции $y=f(x)$: пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)_{\Delta x=0}=f'(x)$. Если некоторая переменная ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ имеет пределом $f'(x)$, то она отличается от своего предела на некоторую бесконечно малую величину $\varepsilon$, следовательно

${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)+\varepsilon$ или $\Delta y=f'(x).\Delta x+\varepsilon .\Delta x$.

Итак, мы видим, что приращение функции состоит из двух частей: так сказать, главной, $f'(x).\Delta x$, порядок которой равен единице, если принять за главную $\Delta x$, и $\varepsilon .\Delta x$, которая бесконечно мала в сравнении с первой, ибо ее порядок выше первого. Лейбниц назвал первую часть $f'(x).\Delta x$ дифференциалом функции и для обозначения ее употребил символ: $df(x)$, сохранившийся до настоящего времени, вследствие чего и само новое исчисление получило название дифференциального, а операция нахождения производной — дифференцирования. Найти дифференциал функции все равно, что найти производную, ибо, когда производная найдена, то дифференциал функции получается через простое умножение на приращение $\Delta x$ независимой переменной, которое есть число совершенно произвольное. Независимая переменная $x$ есть частный случай функции от самой себя, функции, понятно, самой простой: $f(x)=x$.

$\displaystyle \Delta f(x)=\Delta x$; ${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=1$, следовательно пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)_{\Delta x=0}=f'(x)=1$.

Черт. 3.

Отсюда мы замечаем, что $dx=df(x)=f'(x).\Delta x=1.\Delta x=\Delta x$. Итак, мы видим, что дифференциал независимой переменной равносилен приращению этой независимой переменной и есть поэтому величина совершенно произвольная и не зависящая ни от каких переменных, входящих в рассмотрение. Далее мы замечаем, что дифференциал функции равен производной функции, умноженной на дифференц. независимой переменной: $df(x)=f'(x).dx$. Итак, дифференциал функции не совпадает с приращением функции, а составляет лишь главную часть его и отличается от него на бесконечно малую высшего порядка. Покажем теперь геометрические значения функции, производной и дифференциала. Касательная в точке $M_{0}$ к кривой линии $S$ есть такая прямая $M_{0}T$, с которой стремится совпасть секущая $M_{0}M_{1}$, проведенная через точку $M_{0}$ и бесконечно близкую к ней точку $M_{1}$, по мере приближения точки $M_{1}$ к точке $M_{0}$ вдоль по кривой $S$. Возьмем в плоскости координат кривую $S$, определяемую уравнением: $y=f(x)$.

Пусть $x_{0}=OP_{0}$, $y_{0}=P_{0}M_{0}$, $x_{1}=OP_{1}$, $y_{1}=P_{1}M_{1}$. Тогда

$M_{0}N=P_{0}P_{1}=x_{1}-x_{0}=\Delta x_{0}=dx$,

$NM_{1}=P_{1}M_{1}-P_{1}N=P_{1}M_{1}-P_{0}M_{0}=y_{1}-y_{0}=\Delta y_{0}$,

${\frac {\Delta y_{0}}{\Delta x_{0}}}={\frac {M_{1}N}{M_{0}N}}={\mbox{tang}}(M_{1}M_{0}N)$.

По мере уменьшения ${\Delta x_{0}}$ до ноля точка $P_{1}$ приближается к точке $P_{0}$, прямая $P_{1}M_{1}$ — к прямой $P_{0}M$, точка $M_{1}$ вдоль по кривой S — к точке $M_{0}$, секущая $M_{0}M_{1}$ стремится обратиться в касательную $M_{0}J$ к кривой S в точке $M_{0}$. Угол $M_{1}M_{0}N$, который образует секущая с осью x-ов, стремится обратиться в α — угол, образуемый касательной $M_{0}J$ с осью x-ов, и следовательно

Черт. 4.

пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta y_{0}}{\Delta x_{0}}}\right)_{\Delta x_{0}=0}=f'(x_{0})={\mbox{tang}}\alpha .$

Итак, значение производной для значения независимого переменного $x_{0}$, соответствующего точке $M_{0}$ на кривой, есть не что иное, как тангенс угла, составляемого касательной в этой точке с осью $x$-ов. Остается показать геометрическое значение дифференциала функции. Из чертежа замечаем, что

$df(x)=NJ$,

‎ибо из $\triangle M_{0}JN$ получаем:

$NJ=M_{0}N.{\mbox{tang}}\alpha =dx.f'(x)$.

Прежде чем приступить к изложению правил дифференцирования функций, т. е. правил для нахождения производных, или, что одно и то же, дифференциалов функций, необходимо сказать два слова о нэперовских логарифмах. Рассмотрим переменную $(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$. Покажем, что при беспредельном увеличении целого числа $n$ эта переменная стремится к некоторому пределу, заключающемуся между числами 2 и 3. В самом деле

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+n.{\frac {1}{n}}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {1}{n^{2}}}+\dots +{\frac {n[n-1]\dots [n-(n-1)]}{1.2.3...n}}{\frac {1}{n^{n}}}$

(см. Двучлен). Это можно переписать так:

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+1+{\frac {1.\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}{1.2}}+{\frac {1.\left(1-{\frac {1}{n}}\right).\left(1-{\frac {2}{n}}\right)}{1.2.3}}+\dots +$ $+{\frac {1.\left(1-{\frac {1}{n}}\right).\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\dots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)}{1.2.3\dots n}}$

Так как ${\tfrac {1}{n}}$, ${\tfrac {2}{n}}$, ... ${\tfrac {n-1}{n}}$ меньше 1, то все члены больше ноля, и след., $(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$ при всяком $n$ целом и положительном больше 2. Кроме того, легко показать, что $(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$ для всякого $n$ целого и положительного меньше 3, ибо

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+1+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+\dots +{\frac {1}{1.2.3\dots n}}$, и, следовательно

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{2^{n-1}}}$ или

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}+\dots$ и, следовательно

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<3$.

Кроме того, нетрудно убедиться, что при возрастании $n$ переменная $(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$ возрастает, откуда ясно, что эта переменная стремится к некоторому пределу. Этот предел есть некоторое число, несоизмеримое с единицей, которое обозначается обычно буквой $e$. Оно равно 2,71828182845904523536028…. Это число $e$ есть основание нэперовой системы логарифмов, или так называемых натуральных логарифмов. Нетрудно также показать, что при увеличении $n$ выражение $\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ стремится к пределу $e$ и в том случае, когда $n$ проходит все значения как целые, так и дробные, даже число $n$ можно считать отрицательным, но только возрастающим беспредельно по абсолютной величине. Так что, обозначая ${\tfrac {1}{n}}$ через $\varepsilon$, получаем

пред.$\left\{\left(1+\varepsilon \right)^{\frac {1}{\varepsilon }}\right\}_{\varepsilon =0}=e$

Покажем теперь, как находить производные основных функций:

$a+x,\quad a-x,\quad ax,\quad x^{a},\quad {\mbox{lg}}x,\quad \sin x,\cos x$.

1) пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta (a+x)}{\Delta x}}\right)_{\Delta x=h=0}=$ пред. $\displaystyle {\frac {(a+x+h)-(a+x)}{h}}=1.$

2) пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta (a-x)}{\Delta x}}\right)_{\Delta x=h=0}=$ пред. $\displaystyle {\frac {[a-(x+h)]-(a-x)}{h}}=-1.$

3) пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta (ax)}{\Delta x}}\right)_{\Delta x=h=0}=$ пред. $\displaystyle {\frac {a(x+h)-ax}{h}}=a.$

4) пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta (x^{a})}{\Delta x}}\right)_{\Delta x=h=0}=$ пред. $\displaystyle {\frac {(x+h)^{a}-x^{a}}{h}}.$ Пусть $\displaystyle h=x.\alpha$. Тогда пред. $\displaystyle {\frac {\Delta (x^{a})}{\Delta x}}$ = пред. $\displaystyle \left[{\frac {(x+\alpha x)^{a}-x^{a}}{\alpha x}}\right]_{\alpha =0}=$ пред. $\displaystyle {\frac {x^{a}(1+\alpha )^{a}-x^{a}}{\alpha .x}}=x^{a-1}$ пред. $\displaystyle {\frac {(1+\alpha )^{a}-1}{\alpha }}=x^{a-1}$ пред. $\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }},$ где $\displaystyle \beta =(1+\alpha )^{a}-1.$ Отсюда имеем $\displaystyle 1+\beta =(1+\alpha )^{a}.$ Логарифмируя обе части, получаем: $\displaystyle \beta .{\frac {1}{\beta }}\log(1+\beta )=a.\alpha .{\frac {1}{\alpha }}\log(1+\alpha ),$ или $\displaystyle \beta .\log(1+\beta )^{\frac {1}{\beta }}=a.\alpha .\log(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}.$ Отсюда $\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }}=a{\frac {\log(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}}{\log(1+\beta )^{\frac {1}{\beta }}}},$ но пред. $\displaystyle (1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}=$ пред. $\displaystyle (1+\beta )^{\frac {1}{\beta }}=e;$ следовательно пред. $\displaystyle \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)=a{\frac {\log e}{\log e}}=a,$ следовательно, окончательно пред. $\displaystyle {\frac {\Delta (xa)}{\Delta x}}=a.x^{a-1}.$ Здесь число $a$ какое угодно, положительное, отрицательное, целое, дробное, рациональное или иррациональное.

5) пред. $\displaystyle \left[{\frac {\Delta (A^{x}}{\Delta x}}\right]_{\Delta x=h=0}.$ Здесь мы будем предполагать A числом положительным.

пред. $\displaystyle {\frac {\Delta (A^{x})}{\Delta x}}=$ пред. $\displaystyle {\frac {A^{x+h}-A^{x}}{h}}=$ пред. $\displaystyle {\frac {A^{x}(A^{h}-1)}{h}}=A^{x}.$пред.$\displaystyle {\frac {A^{h}-1}{h}}.$

Обозначим бесконечно малую величину $A^{h}-1$ через $\beta$. Тогда из равенства: $A^{h}-1=\beta$ имеем $A^{h}=1+\beta$. Очевидно, что $\beta$ будет стремиться к нулю одновременно с h. Логарифмируя, получаем: $h.\log A=\log(1+\beta ),$ что можем переписать так: $\displaystyle {\frac {1}{\beta }}.h.\log A=\log(1+\beta ){\frac {1}{\beta }}.$ Следовательно,

пред. $\displaystyle {\frac {\Delta (A^{x}}{\Delta x}}=A^{x}$ пред. $\displaystyle {\frac {\beta }{h}}=A^{x}$ пред. $\displaystyle {\frac {\log A}{\log(1+\beta )^{\frac {1}{\beta }}}}=A^{x}{\frac {\log A}{\log e}};$

здесь логарифмы берутся при каком-нибудь основании к. Во всем дальнейшем будем нэперовские логарифмы, взятые при основании e, обозначать символом lg; тогда

пред. $\displaystyle {\frac {\Delta (A^{x})}{\Delta x}}=A^{x}\lg A.$

Формула еще более упростится, если положим $A=e$. Тогда имеем: пред. $\displaystyle {\frac {\Delta (e^{x})}{\Delta x}}=e^{x}$.

6) пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta (\log x)}{\Delta x}}\right)_{\Delta x=h=0}=$ пред. $\displaystyle {\frac {\log(x+h)-\log x}{h}}=$ пред. $\displaystyle {\frac {1}{h}}\log {\frac {x+h}{x}}=$ пред. $\displaystyle {\frac {1}{h}}\log \left(1+{\frac {h}{x}}\right).$

Положим $\displaystyle {\frac {h}{x}}=\alpha ,$ причем, конечно, при $h$ бесконечно малом $\alpha$ также бесконечно мало. Тогда имеем: $h=\alpha .x,$ и следовательно,

пред. $\displaystyle {\frac {\Delta (\log x)}{\Delta x}}=$ пред. $\displaystyle {\frac {\log(1+\alpha )}{\alpha .x}}={\frac {1}{x}}\log(1+\alpha )^{\frac {1}{\alpha }}={\frac {1}{x}}\cdot \log e.$

Для Нэперовых логарифмов получается формула: пред. $\displaystyle {\frac {\Delta (\lg x)}{\Delta x}}={\frac {1}{x}}.$

7) пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta (\sin \,x)}{\Delta x}}\right)_{\Delta x=h=0}=$ пред. $\displaystyle {\frac {\sin \,(x+h)-\sin \,x}{h}}=$ пред. $\displaystyle {\frac {2\cos \,{\frac {(x+h)+x}{2}}\cdot \sin \,{\frac {h}{2}}}{h}}=$ пред. $\displaystyle {\frac {2\cos \,{\frac {2x+h}{2}}\cdot \sin \,{\frac {h}{2}}}{h}}=$ пред. $\displaystyle \cos \,\left(x+{\frac {h}{2}}\right).$пред. $\displaystyle {\frac {\sin \,{\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}=\cos \,x.$

8) пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta (\cos \,x)}{\Delta x}}\right)_{\Delta x=h=0}=$ пред. $\displaystyle {\frac {\cos \,(x+h)-\cos \,x}{h}}=-$ пред. $\displaystyle {\frac {2\sin \,\left(x+{\frac {h}{2}}\right)\cdot \sin \,{\frac {h}{2}}}{h}}=-$ пред. $\displaystyle \sin \,\left(x+{\frac {h}{2}}\right).$пред. $\displaystyle {\frac {\sin \,{\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}=-\sin \,x.$

Итак, мы получаем следующую табличку производных и дифференциалов:

1)	$\displaystyle (a+x)'=1,$	$\displaystyle d(a+x)=dx.$
2)	$\displaystyle (a-x)'=-1,$	$\displaystyle d(a-x)=-dx.$
3)	$\displaystyle (ax)'=a,$	$\displaystyle d(ax)=a.dx.$
4)	$\displaystyle (x^{a})'=a.x^{a-1},$	$\displaystyle d(x^{a})=a.x^{a-1}.dx.$
5)	$\displaystyle (A^{x})'=A^{x}{\frac {\log A}{\log e}},$	$\displaystyle d(A^{x})=A^{x}\cdot {\frac {\log A}{\log e}}\cdot dx.$
6)	$\displaystyle (ex)'=ex,$	$\displaystyle d(ex)=ex.dx.$
7)	$\displaystyle (\log x)'={\frac {1}{x}}\log e,$	$\displaystyle d(\log x)=\log e\cdot {\frac {dx}{x}}.$
8)	$\displaystyle (\lg x)'={\frac {1}{x}},$	$\displaystyle d(\lg x)={\frac {dx}{x}}.$
9)	$\displaystyle (\sin \,x)'=\cos \,x,$	$\displaystyle d(\sin \,x)=\cos \,x.dx.$
10)	$\displaystyle (\cos \,x)'=-\sin \,x,$	$\displaystyle d(\cos \,x)=-\sin \,x.dx.$

Приведенная табличка для Д. исчисления играет ту же роль, как таблица умножения для целых чисел. Зная производные указанных выше простейших функций, можно получить производную какой угодно сложной функции, составленной из приведенных простых. Для этой цели будут служить правила, к перечислению которых и переходим.

1) Производная постоянного числа тожественно равна нулю.

$f(x)=c,\quad \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=c-c=0$; пред.${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=$ пред. ${\frac {0}{\Delta x}}=0$.

2) Правило для дифференцирования суммы. Требуется найти производную функции

$f(x)=u+v$, где $u=\varphi (x),v=\psi (x).$ $\displaystyle \Delta f(x)=\varphi (x+\Delta x)+\psi (x+\Delta x)-[\varphi (x)+\psi (x)]=$ $=\varphi (x+\Delta x)-\varphi (x)+\psi (x+\Delta x)-\psi (x)=\Delta \varphi (x)+\Delta \psi (x).$ пред. $\displaystyle {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=$ пред. $\displaystyle {\frac {\Delta \varphi (x)+\Delta \psi (x)}{\Delta x}}=$ пред. $\displaystyle {\frac {\Delta \varphi (x)}{\Delta x}}+$ пред. $\displaystyle {\frac {\Delta \psi (x)}{\Delta x}}$.

Подводя к пределу, имеем: $\displaystyle f'(x)=\varphi '(x)+\psi '(x)$, т. е. производная суммы равна сумме производных. Понятно, что производная разности равна разности производных; так что будет $\displaystyle (u+v)'=u'+v',\ (u-v)'=u'-v'$. Как следствие получим: $\displaystyle (u+v-w-r+s)'=u'+v'-w'-r'+s'$.

3) Дифференцирование произведения.

$\displaystyle f(x)=u.v;\ \Delta f(x)=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-u.v.$ ${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {u.v+v.\Delta u+u.\Delta v+\Delta u.\Delta v-u.v}{\Delta x}}=v.{\frac {\Delta u}{\Delta x}}+u.{\frac {\Delta v}{\Delta x}}+\Delta x.{\frac {\Delta u}{\Delta x}}.{\frac {\Delta v}{\Delta x}}.$

Будем подводить $\Delta x$ к нулю; тогда получим:

$f'(x)=(u.v)'=v.u'+u.v'.$

Эта формула обобщается на случай нескольких переменных:

$(u.vw)'=[u(vw)]'=u(vw)'+(vw).u'=u.v.w'+u.w.v'+v.w.u'.$

4) Дифференцирование дроби.

$\displaystyle f(x)={\frac {u}{v}};\ \Delta f(x)={\frac {u+\Delta u}{v+\Delta v}}-{\frac {u}{v}}={\frac {(u+\Delta u)v-(v+\Delta v)u}{v(v+\Delta v)}}=$ $\displaystyle ={\frac {u.v+v.\Delta u-u.v-u.\Delta v}{v(v+\Delta v)}}={\frac {v.\Delta u-u.\Delta v}{v(v+\Delta v)}};\ {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {v.{\frac {\Delta u}{\Delta x}}-u.{\frac {\Delta v}{\Delta x}}}{v(v+\Delta v)}}.$

В пределе будет

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {v.u'-u.v'}{v^{2}}}.$

Итак, получаем следующую табличку:

1)	$d(c)=0;$
2)	$d(u\pm v)=du\pm dv;$
3)	$d(u.v)=u.dv+v.du;$
4)	$d(u.v.w.r)=du.v.w.r+u.dv.w.r+u.v.dw.r+u.v.w.dr;$
5)	$\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v.du-u.dv}{v^{2}}}.$

Применим сказанное к примерам.

$\mathrm {tang} \,x={\frac {u}{v}},$ где $u=\sin \,x,\ v=\cos \,x.$ $\displaystyle (\mathrm {tang} \,x)'={\frac {\cos \,x(\sin \,x)'-\sin \,x(\cos \,x)'}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.$

Подобным же образом найдем:

$\displaystyle (\mathrm {cotg} \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}};$ $\displaystyle (\sec \,x)'=\left({\frac {1}{\cos \,x}}\right)'={\frac {\cos \,x(1)'-1(\cos \,x)'}{\cos ^{2}x}}={\frac {\sin \,x}{\cos ^{2}x}};$ $\displaystyle (\mathrm {cosec} \,x)'={\frac {\cos \,x}{\sin ^{2}x}}.$

Дифференцирование функций от функций. Возьмем функцию $f(u)$, где $u=\varphi (x)$. Тогда получается ф-ция $f[\varphi (x)]$, или, как говорят, функция от функции. Например:

$\cos \,(e^{x})=\cos \,u$, где $u=e^{x}$.

Такие ф-ции называются также сложными. Итак, требуется найти производную $y'$ от ф-ции $y=f(u)$, где $u=\varphi (x)$.

Искомая производная

$y'=$ пред. ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$,

что можно написать так:

$y'=$ пред. $\displaystyle \left({\frac {\Delta y}{\Delta u}}.{\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)=$ пред.$\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot$ пред.$\displaystyle {\frac {\Delta u}{\Delta x}}$, но пред. $\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta u}}=f'(u)$ а пред. $\displaystyle {\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\varphi '(x)$

т. е. вообще

$\displaystyle y'x=f'(u).\varphi '(x)=f'(u).u'$

(*)

Если $u$ независимая переменная, то $u'=1$, так что будет $y'x=f'(x)$. Если $u$ некоторая ф-ция, то формула (*) выражает правило дифференцирования сложной функции. Умножая обе части равенства (*) на $dx$, получим

$y'x.dx=f'(u).u'.dx;$ но $y'x.dx=dy$ а $u'.dx=du;$ следовательно $dy=f'(u).du$.

Формула дифференцирования сложной ф-ции, написанная в таком виде, не отличается от формулы для дифференциала ф-ции $f(u)$ в том случае, когда $u$ независимая переменная. Разница только та, что $du$, при $u$ = независимой переменной совпадает с произвольным приращением, а если $u$ ф-ция, то $du$ есть ее дифференциал. Например:

$\displaystyle d[\cos \,(x^{3})]=-\sin \,(x^{3})d(x^{3})=-\sin \,(x^{3}).3x^{2}.dx.$

Подобным же образом рассматриваются ф-ции от ф-ций более сложного вида. Напр., пусть требуется дифференцировать $y=f(u)$, где $u=\varphi (v)$, а $v=\psi (x)$. Тогда $u=\varphi [\psi (x)]$, а $f(u)=f(\varphi [\psi (x)])$. По сказанному выше $y'=f(u)u'$, но $u'=\varphi '(v).v'$; следовательно: $y'=f'(u).\varphi '(v).v'$. Например: $y=\lg[\sin(x^{2})]$. Здесь можно написать: $y=\lg u$, $u=\sin \,v$, $v=x^{2}$. Следовательно:

$\displaystyle y'=(\lg u)'.(\sin \,v)'.(x^{2})'={\frac {1}{u}}.\cos \,v.2x={\frac {1}{\sin \,(x^{2})}}.\cos(x^{2}).2x$.

Дифференцирование функций обратных. Мы видели уже, что если две переменные $x$ и $y$ находятся в зависимости, так что одну из них, напр. $y$, можно рассматривать как ф-цию $f(x)$ от другой, то и обратно, другую переменную $x$ можно рассматривать как ф-цию от первой $y$. Получаем так называемую обратную ф-цию. Будем ее обозначать так: $x=f_{-1}(y)$, так что ф-ции, указываемые характеристиками $f$ и $f_{-1}$ будем называть обратными. Так, напр., если

$y=\sin \,x$, то $x=\arcsin \,y$.

Итак, пусть у нас две переменные $x$ и $y$ находятся в указанной зависимости. Пусть приращению одной $\Delta x$ соответствует приращение $\Delta y$ другой, и обратно, приращению $\Delta y$ будет соответствовать приращение $\Delta x$ первой.

$f'(x)=$ пред. $\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}$, а $f'_{-1}(y)$ = пред. $\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta y}}$.

Две переменные $\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ и $\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta y}}$ суть величины обратные, так что каждая из них получается от деления единицы на другую; пределы их будут величины также обратные. Следовательно

$\displaystyle f'_{-1}(y)={\frac {1}{f'(x)}},$

т. е. производная ф-ции обратной равна единице, деленной на производную ф-ции прямой, причем производные от ф-ций берутся каждая по своему аргументу.

Применим это правило к нахождению некоторых обратных тригонометрических или круговых функций.

Пусть $y=\arcsin \,x$. Следовательно, $x=\sin \,y$. Здесь $f(x)=\arcsin \,x$; $f_{-1}(y)=\sin \,y$. Применяя изложенное выше правило, находим

$\displaystyle (\arcsin \,x)'_{x}={\frac {1}{(\sin \,y)'_{y}}}={\frac {1}{\cos \,y}},$

но $\sin \,y=x$, следовательно $\displaystyle \cos \,y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$, так что окончательно

$\displaystyle (\arcsin \,x)'_{x}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}}$.

При корне квадратном надо выбирать знак +, ибо $y=\arcsin \,x$ есть дуга, взятая в границах между −90° и +90° и имеет $\cos \,y$ положительный (см. Функции);

следовательно $\displaystyle (\arcsin \,x)'_{x}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Так как $\arcsin \,x+\arccos \,x={\frac {\pi }{2}}$ то, дифференцируя это тожество, получим:

$(\arcsin \,x)'+(\arccos \,x)'=0$, откуда $\displaystyle (\arccos \,x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Возьмем еще пример. $y=\mathrm {arctang} \,x$; следовател. $x=\mathrm {tang} \,y$; $\displaystyle (\mathrm {arctang} \,x)'_{x}={\frac {1}{(\mathrm {tang} \,y)'_{y}}}=\cos ^{2}y$; но если $\mathrm {tang} \,y=x$, то $\displaystyle \cos \,y={\frac {1}{\sqrt {1-\mathrm {tg} ^{2}y}}}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}}$, и следовательно $\displaystyle (\mathrm {arctg} \,x)'_{x}={\frac {1}{1+x^{2}}}.$

Так как $\displaystyle \mathrm {arctang} \,x+\mathrm {arccotg} \,x={\frac {\pi }{2}}$, то, следовательно $\displaystyle (\mathrm {arccotg} \,x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$.

В заключение покажем, как дифференцировать выражение $y=uv$, где $u$ и $v$ функции от $x$.

Берем логарифмы; получаем: $\lg y=v\lg u$. Дифференцируем

$\displaystyle {\frac {1}{y}}.y'=v'\lg u+v(\lg u)'=v'\lg u+v{\frac {1}{u}}u'$.

Следовательно

$\displaystyle y'=y(v'\lg u+v{\frac {1}{u}}u')=uv.\lg u.v'+v.uv-1.u'$.

Указанных правил вполне достаточно для дифференцирования каких угодно функций, как угодно составленных из простейших, которые вводятся в рассмотрение в алгебре и в тригонометрии. Мы видим, что в результате дифференцирования подобных функций новых функций не получается, а некоторые даже упрощаются. Так, напр., трансцендентная функция $\lg x$ при дифференцировании обращается в простую алгебраическую ${\frac {1}{x}}$. Когда приведенные правила для дифференцирования функций были разобраны, уже Ньютону и Лейбницу представилась необходимость в рассмотрении вопроса обратного, а именно: по данной производной найти так наз. первообразную функцию, или, по терминологии Ньютона, по заданной флюксии найти величину текущую. Эта задача составила предмет так наз. интегрального исчисления (см.) и представила уже на первых порах затруднения весьма существенные. Оказывается, что уже для некоторых весьма простых функций первообразные функций весьма сложны. Так, напр., для весьма простой алгебраической функций ${\frac {1}{1+x^{2}}}$ первообразная функция есть функция трансцендентная ${\mbox{arctang}}x$. Так что немногие виды функций имеют первообразные функции, выраженные через известные в так наз. конечном виде. Большинство же функций имеет первообразными особые новые виды функций, бесчисленного числа различных видов которых служит источником интегральное исчисление, и главнейшие виды которых, по мере их практического значения, служат предметом внимательного изучения.

Признаки возрастания и убывания функций. Теорема Ролля. Maxima и minima. Если для значений нез. пер. $x$, лежащих в некоторых границах, производная положительная, то функция при возрастании $x$ возрастает, и наоборот, если производная отрицательна для некоторых значений $x$, то для этих значений $x$ при возрастании $x$ функция убывает. Отсюда вытекает, как следствие, основная теорема Д. исчисления.

Теорема Ролля. Если для значений нез. пер. $x$, лежащих в двух границах, функция и производная конечны и непрерывны, и если для двух значений нез. пер. $a$ и $b$ функция $f$ обращается в 0, так что $f(a)=0$ и $f(b)=0$, причем, напр., $b>a$, то производная $f'(x)$ должна обращаться в ноль для некоторого значения $\xi$ нез. пер. $x$, лежащего между числами $a$ и $b$ ($a<\xi <b$).

В самом деле, положим, что существует обратное, а именно, что между значениями $a$ и $b$ производная $f'(x)$ не обращается в ноль. Тогда, вследствие того, что эта производная, по нашему предположению, конечна и непрерывна, она не должна изменять знака, т. е. будет для всего промежутка от $a$ до $b$ или положительна, или отрицательна. Но оба предположения противоречат условию, ибо, если производная все время положительна, то сама функция, начиная от значения, равного нолю при $x=a$, будет возрастающая во все время увеличения $x$ от $a$ до $b$ и, следовательно, для $x=b$ примет некоторое положительное значение, не равное нолю, что противоречит предположению. Подобным же образом невозможно предположение, чтобы производная все время была отрицательна. Следовательно, если функция $f(x)$, начиная со значения, равного нолю при $x=a$, при увеличении $x$ возрастает, то для того, чтобы обратиться в ноль еще раз для значения $x=b$, функция должна перестать возрастать и после некоторого значения $\xi$, лежащего в пределах между $a$ и $b$, должна начать убывать.

При этом значении $\xi$ нез. пер. получается наибольшее значение функции по отношению к соседним, или, как говорят, при $x=\xi$ функция имеет maximum. Подобным же образом, если непрерывная конечная функция $f(x)$ обращается в ноль при значении $x=a$ и затем при возрастании $x$ убывает, то для того, чтобы еще раз обратиться в ноль при $x=b$, функция должна перестать убывать и после некоторого значения $x=\xi$ начать возрастать. В этом случае при $x=\xi$ получается так наз. minimum функции.

Итак, мы видим, что maxima и minima функции характеризуются тем, что при переходе нез. пер. через соответственные им значения, функция из возрастающей делается убывающей или обратно и, следовательно, производная меняет свой знак. Если, согласно нашему предположению, производная для значений нез. пер., близких к рассматриваемому значению $\xi$, конечна и непрерывна, то перемена знака производной не может произойти иначе, как при переходе этой производной через ноль.

Итак, мы видим, что maxima и minima имеют место для тех значений нез. пер., которые обращают в ноль первую производную. Напр., если возьмем функцию $\sin \,x$, то замечаем, что maxima этой функции имеют место при $\displaystyle x={\frac {\pi }{2}},\,{\frac {5\pi }{2}},\dots \left(2k+{\frac {1}{2}}\right)\pi$, minima же при $\displaystyle x=\left(2k+{\frac {3}{2}}\right)\pi$. Одним словом, для значений, обращающих в 0 производную, т. е. $\cos \,x$.

Для нахождения maxima и minima функции $f(x)$ надо, след., приравнять $f'(x)$ нолю; тогда получится уравнение $f'(x)=0$. Если производная непрерывна для всех значений x, то частные значения x, соответствующие наибольшим или наименьшим значениям функции, надо искать между корнями этого уравнения. Пусть корни этого уравнения будут $a_{1},a_{2},\dots a_{n}$, где этих корней может быть как конечное число, напр. в случае функций алгебраических, так и бесчисленное множество, как, напр., в случае функций трансцендентных (напр. $\sin \,x$). Каждый из этих корней надо подвергнуть рассмотрению, а именно, имеется ли для $x$, равного этому корню, maximum функции, или minimum, или нет ни того, ни другого.

Задача. Требуется забором данной длины обнести наибольшую площадь, имеющую вид прямоугольника.

Пусть искомые стороны прямоугольника будут $x$ и $y$. Обозначим периметр прямоугольника, т. е. данную длину забора, через $2a$. Тогда

Черт. 5.

$2x+2y=2a$ или $x+y=a$, откуда $y=a-x$. Искомая площадь, которую нужно сделать наибольшей $=x.y=x(a-x)=f(x).$

Производная от функции $f'(x)$ будет такая: $f'(x)=a-2x.$

Maximum площади, если только он возможен, будет при $f'(x)=0$, т. е. при $\displaystyle x={\frac {a}{2}}$. Но тогда и $\displaystyle y={\frac {a}{2}}$. След., из всех прямоугольников данного периметра квадрат есть наибольший по площади. Подобным же образом доказывается, что для всех фигур, как прямолинейных, так и криволинейных, данного периметра наибольшая по площади круг.

Формула Тейлора. Эта знаменитая формула резюмирует в себе все Д. исчисление и все его приложения. Предварительно надо сказать о производных и дифференциалах высших порядков. Мы видели, при рассматривании правил дифференцирования, что производной всякой функции является некоторая новая функция. Если для этой новой функции составить новую производную, то получим так называемую вторую производную начальной функции и будем обозначать ее символом $f''(x)$. Производную от второй производной будем называть третьей производной и обозначать $f'''(x)$ и т. д., так что, наконец, производную какого-нибудь порядка $n$ будем обозначать символом $f^{(n)}(x)$. — Если умножим производную какого-нибудь порядка $k$ на степень $k$ дифференциала нез. пер. $x$, то получим так называемый дифференциал порядка k от функции, что обозначается так: $d^{k}f(x)=f^{(k)}(x).dx^{k}$. Так что, если $y=f(x)$, то $dy=y'.dx$, $d^{2}y=y''.dx^{2}$, $d^{3}y=y'''.dx^{3},\dots$ Нельзя смешивать обозначения: $d^{2}y,dy^{2},d(y^{2})$. Первым символом обозначается второй дифференциал $y$, вторым — квадрат дифференциала $y$, а третьим — дифференциал от функции $y^{2}$.

Чтобы показать, почему под дифференциалом порядка $k$ подразумевается сказанное произведение производной порядка $k$ на соответствующую степень дифференциала нез. пер., покажем, что второй дифференциал функции есть не что иное, как дифференциал, взятый от первого дифференциала. В самом деле,

$d(dy)=d(y'.dx)$,

но $dx$ есть совершенно произвольная величина, не зависящая от нез. пер. $x$, и потому при дифференцировании может быть, как постоянная, вынесена из-под знака дифференциала: следовательно

$d(y'dx)=dx.dy'=dx(y')'dx=y''dx^{2}=d^{2}y$.

Третий дифференциал y есть не что иное, как дифференциал от второго дифференциала и т. д. Сказанное замечание дает возможность находить дифференциалы высших порядков от функций сложных. Пусть, напр., $y=f(u)$, где $u$ есть функция от нез. пер. $x$. $dy=f'(u).du$; $d^{2}y=d(dy)=d[f'(u)du]$; но теперь $du$, будучи дифференциалом функции и равняясь, след., $u'dx$, т. е. производной функции, умноженной на дифференциал нез. пер., зависит от нез. пер., которая входит в производную $u'$, а следов., при дифференцировании нельзя выносить его из-под знака дифференциала, следовательно

$d[f'(u)du]=d[f'(u)].du+f'(u)d(du)=[f(u)]'.du.du+f'(u).d^{2}y=$ $=f''(u).d^{2}y+f'(u).d^{2}y.$

Получилась формула для второго дифференциала функций сложных. Если $u$ нез. пер., то $du$ есть величина, не зависящая от каких бы то ни было величин, входящих в вопрос и, следов., при дальнейшем дифференцировании есть величина постоянная, так что $d^{2}u=d(du)=0$ и формула для второго дифференциала функции простой, а не сложной, получается та же, что мы уже видели. Сообщив эти предварительные замечания, обращаемся теперь к выводу формулы Тейлора.

Мы видели уже, что $\Delta f(x)=df(x)+\epsilon$. Обозначая $\Delta x$ через $h$, имеем: $df(x)=f'(x).h$. Но $\Delta f(x)=f(x+h)-f(x)$. Следовательно $f(x+h)-f(x)=$$=f'(x).h+\epsilon$, откуда $f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\epsilon$, где $\epsilon$ порядка высшего, чем $h$. — Оказывается, что последнюю формулу можно переписать в таком виде:

$f(x+h)=A_{0}+A_{1}h+A_{2}h^{2}+A_{3}h^{3}+\dots ,$ где $A_{0}=f(x),\ A_{1}=f'(x),\epsilon =A_{2}h^{2}+A_{3}h^{3}+\dots$

Таким образом, получается разложение приращенного значения функции $f(x+h)$ по степеням приращения $h$ — известная формула Тейлора. Чтобы показать значение коэффициентов $A_{2},A_{3}\dots$, возьмем сначала целую функцию, многочлен степени $n$:

$f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots +a_{n-2}x^{2}+a_{n-1}x^{2}+an$. $f(x+h)=a_{0}(x+h)^{n}+a_{1}(x+h)^{n-1}+a_{2}(x+h)^{n-2}+\dots +$ $+a_{n-2}(x+h)^{2}+a_{n-1}(x+h)^{2}+an.$

Раскрывая скобки по биному Ньютона и собирая члены с различными степенями $h$, получим тожество

$f(x+h)=A_{0}+A_{1}h+A_{2}h^{2}+\dots +A_{n-1}h^{n-1}+A_{n}h^{n},$

где $A_{0},A_{1},A_{2},\dots$ некоторые функции от $x$.

Всякое тожество имеем право дифференцировать по любой из входящих в него букв; результат будет также тождество. Продифференцируем наше тожество по $h$, считая $x$ постоянным:

$f'(x+h)=A_{1}+A_{2}.2h+A_{3}.3h^{2}+\dots +A_{n}.n.h^{n-1}$

(1)

$f''(x+h)=1.2.A_{2}+2.3.A_{3}h+3.4.A_{4}h^{2}+\dots$

(2)

$f'''(x+h)=1.2.3.A_{3}+2.3.4.A_{4}h+3.4.5.A_{5}h^{2}+\dots$

(3)

Подставляя во все тожества вместо $h$ ноль, получаем:

$f(x)=A_{0}$, $f'(x)=A_{1}$, $f''(x)=1.2.A_{2}$, $f'''(x)=1.2.3.A_{3},\dots$

Отсюда легко получить все коэффициенты A0, A1, A2,..

$A_{0}=f(x)$, $A_{1}=f'(x)$, $A_{2}={\frac {1}{1.2}}f''(x)$, $A_{3}={\frac {1}{1.2.3}}f'''(x)$, $A_{4}={\frac {1}{1.2.3.4}}f^{\mathrm {IV} }(x),\dots$

Следовательно

$f(x+h)=f(x)+h.f'(x)+{\frac {h^{2}}{1.2}}f''(x)+{\frac {h^{3}}{1.2.3}}f'''(x)+\dots +{\frac {h^{n}}{1.2.3\dots n}}f^{(n)}(x).$

Итак, мы видим, что формула Тейлора для целой функции обращается в многочлен, расположенный по степеням приращения $h$. — Замечательно, что подобная формула имеет место не только для целых функций, но и для функций каких угодно, причем $f(x+h)$ не равно прямо выражению, стоящему в правой части написанной выше формулы, а отличается на некоторую величину, которую назовем $R_{n}$, так что

$f(x+h)=f(x)+h.f'(x)+{\frac {h^{2}}{1.2}}f''(x)+\dots +{\frac {h^{n}}{1.2.3\dots n}}f^{(n)}(x)+R_{n}.$

Прибавка $R_{n}$ есть так называемый дополнительный член. Лагранжу принадлежит замечание в высшей степени важное, а именно, что дополнительный член $R_{n}$ может быть представлен в виде:

$R_{n}={\frac {h^{n+1}}{1.2.3.\dots (n+1)}}f^{(n+1)}(\xi ),$

где $\xi$ есть некоторое число, лежащее между $x$ и $x+h$, и след., если все производные $f^{(n+1)}(x)$ и следующие конечны для всех значений между $x$ и $x+h$, то при возрастании $n$ до $\infty$ дополнительный член стремится к нолю, и след., вычисляя сумму $n+1$ первых членов разложения Тейлоровой строки, получим число, близкое к значению функции $f(x+h)$.

Итак, мы видим, что формула Тейлора есть так называемая интерполяционная формула, где функция $f(x+h)$ заменяется некоторой целой функцией от $h$ с погрешностью, о пределах которой можно судить на основании замечания Лагранжа.

Приложим формулу Тейлора к функции $e^{x}$:

$f(x)=e^{x},f'(x)=e^{x},f''(x)=e^{x},\dots f^{(n)}(x)=e^{x}.$

Следовательно,

$e^{(x+h)}=e^{x}+h.e^{x}+{\frac {h^{2}}{1.2}}e^{x}+\dots +{\frac {h^{n}}{1.2.3.\dots n}}.e^{x}+R_{n},$ где $R_{n}={\frac {hn+1}{1.2.3.\dots (n+1)}}.e^{\xi }.$

Ho $e^{x+h}=e^{x}.e^{h}$; кроме того, $e^{\xi }$ близко к $e^{x}$, $\displaystyle {\frac {h^{n+1}}{1.2.3.\dots (n+1)}}$ очень мало, значит, величина $R_{n}$ близка к нулю. Разделив на $e^{x}$, получаем

$e^{h}=1+h+{\frac {h^{2}}{1.2}}+{\frac {h^{3}}{1.2.3}}+\dots +{\frac {h^{n}}{1.2.\dots n}}+{\frac {h^{n+1}}{1.2.3...(n+1)}}.e^{\xi -x}.$

Формула Тейлора дает способ разложить ф-цию по возрастающим степеням нез. пер. При $h=1$ из предыдущей формулы получаем:

$e=1+1+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+{\frac {1}{1.2.3.4}}+{\frac {1}{1.2.3.4.5}}+\dots ,$

что было выведено раньше другим путем.

Формула Тейлора может быть написана так:

$\Delta f(x)=df+{\frac {d^{2}f}{1.2}}+{\frac {d^{3}f}{1.2.3}}+\dots ,$

если примем в соображение, что произвольное число $h$ можно считать за $dx$.

Полагая в формуле Тейлора $h=x$, $x=0$, получаем формулу Маклорена:

$f(x)=f(0)+x.f'(0)+{\frac {x^{2}}{1.2}}f''(0)+\dots ,$

дающую возможность разлагать функции в ряды по степеням нез. перем. Сделаем несколько примеров.

$f(x)=e^{x}$, $f(0)=e^{0}=1$, $f'(0)=e^{0}=1,\dots$ $e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {x^{5}}{1.2.3.4.5}}+\dots$

Подобным же образом получим разложения:

$\sin \,x=x-{\frac {x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {x^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {x^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\dots$ $\cos \,x=1-{\frac {x^{2}}{1.2}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {x^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\dots$

откуда легко получить формулу Эйлера:

$e^{x{\sqrt {-1}}}=\cos \,x+{\sqrt {-1}}.\sin \,x,$

дающую связь между нэперовыми логарифмами, с одной стороны, и тригонометрическими и круговыми функциями, с другой. Легко получить еще следующие разложения:

$\lg(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\dots$ ${\frac {1}{2}}\lg {\frac {1+x}{1-x}}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots$ $\mathrm {arctang} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\dots$

Дифференцирование функций от нескольких переменных и дифференцирование функций неявных. Рассмотрение функций от нескольких переменных и дифференцирование таких функций по существу не потребует новых принципов. Нужно только ввести некоторые новые термины и определения. Пусть $u=f(x,y,z,\dots t)$. Эту функцию можно рассматривать как функцию от одной независимой переменной $x$, если согласимся другим переменным $y,z,\dots t$ задать какие-нибудь частные значения, чтобы считать их за постоянные. В этом предположении можно найти производную от функции $u$ по $x$. Такую производную будем называть частной производной, взятой от функции $f$ по $x$, и обозначать символом $f'_{x}(x,y,z,\dots t)$. Подобным же образом, рассматривая букву y как переменную, а все остальные как постоянные, получим частную производную по y: $f'_{y}(x,y,z,\dots t)$ и таким же образом другие частные производные по $z,\dots t$. Произведение частной производной $f'_{x}(x,y,z,\dots t)$, взятой по букве $x$, на дифференциал независимого переменного $x$ назовем частными дифференциалом функции, взятым по $x$ и будем обозначать символом $d_{x}f$; подобным же образом получим частные дифференциалы по другим переменным: $d_{y}f,d_{z}f,\dots d_{t}f$.

Равенство $d_{x}f=f'x(x,y,z,\dots t).dx$ показывает, что частную производную по $x$ можно рассматривать как частное от деления дифференциала, взятого по $x$, на $dx$, так что

$f'x(x,y,z,\dots t)={\frac {d_{x}f}{dx}}.$

Последний символ прежние математики писали проще: $\displaystyle {\frac {df}{dx}}$, причем в случае, когда $f$ — функция от нескольких переменных, ясно, что последний символ обозначает частную производную, взятую по $x$. Для частных производных в русской литературе употребляется почти исключительно немецкое (введенное Якоби) обозначение:

${\frac {\partial f}{\partial x}},\ {\frac {\partial f}{\partial y}},\dots {\frac {\partial f}{\partial t}}.$

Сумма частных дифференциалов функций $f$ по всем переменным составляет то, что называют полным дифференциалом функции и обозначают $df$, так что

$\displaystyle df=d_{x}f+d_{y}f+d_{z}f+\dots +d_{t}f={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz+\dots +{\frac {\partial f}{\partial t}}dt.$

Вот почему немецкие математики для частных производных употребляют особый символ, чтобы не смешивать частной производной $\displaystyle {\frac {df}{dx}}$ с отношением полного дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного $dx$.

Всякая частная производная функции $f$ по одной из букв есть новая функция от тех же букв, от которой, следовательно, можем опять взять частную производную по какой-нибудь из букв. Таким образом получаются частные производные второго порядка; если от этих частных производных возьмем еще частные производные, получим частные производные третьего порядка и т. д.

Будем обозначать так: $f''_{xy}(x,y,z,\dots t)$ — вторая частная производная, взятая сначала по $x$, а потом по $y$, $f'''_{xxt}(x,y,z,\dots t)$ — третья частная производная, взятая два раза по $x$ и один раз по $t$, и т. д.

Легко доказать, что при нахождении частных производных высших порядков все равно, в каком порядке производить дифференцирование. Напр. для того, чтобы получить вторую частную производную, взятую по $x$ и по $y$, можно или сначала найти частную производную по $x$, а затем продифференцировать по $y$, или, наоборот, взять сначала частную производную по $y$, а затем от нее взять частную производную по $x$.

Если мы частную производную некоторого порядка, взятую $k$ раз по $x$, $l$ раз по $y$, $m$ раз по $z,\dots n$ раз по $t$, умножим на $dx^{k}.dy^{l}.dz^{m}\dots dt^{n}$, то получим соответствующий частный дифференциал, взятый $k$ раз по $x$, $l$ раз по $y$, $m$ раз по $z,\dots n$ раз по $t$, который обозначим $d_{x^{k},y^{l},z^{m},\dots t^{n}}f$.

Так что $d_{x^{k},y^{l},z^{m},\dots t^{n}}f=f_{x^{k},y^{l},z^{m},\dots t^{n}}^{(k+l+m+\dots +n)}(x,y,z,\dots t)dx^{k}.dy^{l}.dz^{m}\dots dt^{n},$

откуда частная производная

$\displaystyle f_{x^{k},y^{l},z^{m},\dots t^{n}}^{(k+l+m+\dots +n)}(x,y,z,\dots t)={\frac {d_{x^{k},y^{l},z^{m},\dots t^{n}}f}{dx^{k}.dy^{l}.dz^{m}\dots dt^{n}}}.$

По Якобиевскому обозначению такая частная производная напишется так:

${\frac {\partial ^{k+l+m+\dots +n}f}{\partial x^{k}.\partial y^{l}.\partial z^{m}\dots \partial t^{n}}}.$

В данном случае производная порядка $k+l+m+\dots +n$. Так, например, в случае функции двух переменных производных второго порядка и дифференциалов второго порядка четыре:

$\displaystyle d_{xx}f$, $\displaystyle d_{xy}f$, $\displaystyle d_{yx}f$, $\displaystyle d_{yy}f$, $\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}$, $\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x.\partial y}}$, $\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y.\partial x}}$, $\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$.

На основании же сказанного замечания о независимости значения производной от порядка дифференцирования получим, что $d_{xy}f=d_{yx}f$ и $\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x.\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y.\partial x}}$.

Сумма всевозможных вторых дифференциалов функции $f$ есть то, что принято называть вторым полным дифференциалом функции и обозначать через $d^{2}f$.

Так, например, в случае функции двух независимых переменных имеем:

$d^{2}f=d_{xx}f+d_{xy}f+d_{yx}f+d_{yy}f$ или $d^{2}f=d_{xx}f+2d_{xy}f+d_{yy}f$ или $\displaystyle d^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x.\partial y}}dx.dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}$.

Подобным же образом сумму всевозможных частных дифференциалов третьего порядка принято называть полным дифференциалом третьего порядка и обозначать $d^{3}f$ и т. д.

Для нахождения полного дифференциала n-ого порядка выводится следующая символическая формула:

$\displaystyle d^{n}f=\left({\frac {\partial }{\partial x}}dx+{\frac {\partial }{\partial y}}dy+\dots +{\frac {\partial }{\partial t}}dt\right)^{n}.f.$

Чтобы получить выражение $d^{n}f$ не в символическом виде, а окончательно, необходимо возвести в степень n многочлен, стоящий в скобках, считая $\partial ,\partial x,dx,\partial y,dy,\dots$ за отдельные буквы. В конце же концов получим сумму членов вида:

$\displaystyle A{\frac {\partial ^{k+l+\dots +m}}{\partial x^{k}.\partial y^{l}\dots \partial t^{m}}}dx^{k}.dy^{l}\dots dt^{m}f$,

где $k+l+\dots +m=n,A$ — некоторый численный коэффициент, зависящий от $k,l,\dots m$. Потом каждый член надо будет переписать, вставив букву $f$ в числители дроби, в таком виде:

$\displaystyle A{\frac {\partial ^{k+l+\dots +m}f}{\partial x^{k}.\partial y^{l}\dots \partial t^{m}}}dx^{k}.dy^{l}\dots dt^{m}$

и считать дробь за соответственную частную производную.

Обратимся теперь к указанию правил для дифференцирования функций неявных.

Пусть, напр., дано уравнение:

$f(x.y)=0$

(*)

Через решение этого уравнения относительно $y$ мы получим $y$ в виде некоторой функции от $x:y=\varphi (x)$. Функция $\varphi (x)$, очевидно, такова, что после подстановки ее в уравнение (*) последнее обращается в тожество:

$f(x.\varphi x)=0$

(**)

Легко убедиться, что тожество имеем право дифференцировать по любой из входящих в него букв: в результате дифференцирования получим тоже тожество. В самом деле, если $\Phi (x)=0$ есть тождество, то оно, очевидно, удовлетворяется при всех значениях $x$, а следовательно, будет также удовлетворяться равенство $\Phi (x+\Delta x)=0$. Вычитая из последнего тождества предыдущее, получим тожество: $\Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)=0$, которое можем переписать в таком виде: $\displaystyle {\frac {\Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)}{\Delta x}}=0$ или, подводя к пределу: $\Phi '(x)=0$. Последнее равенство есть, очевидно, тоже тожество.

Итак, будем дифференцировать тождество (**), которое будем для удобства писать в виде (*), но под y подразумевать уже функцию $\varphi (x)$. Дифференцируя это тождество, получим:

${\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy=0.$

Разделяя на $dx$ и решая относительно ${\frac {dy}{dx}}=\varphi '(x)$, получим:

$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\frac {df}{dx}}{\frac {df}{dy}}},$

где в выражениях частных производных в числителе и знаменателе под буквой y надо разуметь опять-таки функцию $\varphi (x)$. Таким образом находим производную неявной функции, дифференцируя само уравнение, а не решая его предварительно относительно y, что представляется весьма важным в тех случаях, когда уравнение решается неудобно, или можно затрудниться в его решении. Подобным же путем находятся производные от неявных функций высших порядков.

Излагая теорию дифференцирования функций, составляющую главную задачу Д. исчисления, мы попутно указывали уже и на некоторые приложения Д. исчисления; так, напр., мы указывали на приложения производных функций к решению задач на maxima и minima функций от одной независимой переменной. В Д. исчислении рассматриваются также maxima и minima функций от многих переменных, причем для нахождения maxima и minima приходится приравнивать нолю первый полный дифференциал функции. Строка Тейлора для функций одной переменной, а также и в обобщенном своем виде для случая функций от многих переменных, дает критерий для отличия случая maximum’a функции от случая ее minimum’a, а также дает возможность указать, имеет ли место maximum или minimum данной функции, обращающий в ноль первый полный дифференциал функции. Второе аналитическое приложение Д. исчисления давали формулы Тейлора и Маклорена для разложения функций в ряды, расположенные по целым степеням независимой переменной.

Далее производные прилагаются к нахождению предельных значений выражений неопределенного вида. Напр., $\displaystyle {\frac {\sin \,x}{x}}$ при $x=0$ имеет вид $\displaystyle {\frac {0}{0}}$, между тем, как мы видели уже, что при уменьшении $x$ до ноля эта дробь имеет пределом единицу. Д. исчислением дается следующее правило для раскрытия неопределенности вида $\displaystyle {\frac {0}{0}}$:

Если дано отношение $\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}$ двух функций: $\psi (x)$ и $\varphi (x)$, которые обе обращаются в ноль при некотором частном значении $x=a$, то надо написать отношение их производных: $\displaystyle {\frac {\varphi '(x)}{\psi '(x)}}$. Если последнее отношение стремится к некоторому пределу, то к этому же пределу стремится и данное отношение $\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}$ при приближении $x$ к $a$.

Прилагая сказанное к случаю $\displaystyle {\frac {\sin \,x}{x}}$, получаем: $\displaystyle {\frac {(\sin \,x)'}{(x)'}}={\frac {\cos \,x}{1}}$. Последнее выражение, при уменьшении $x$ до 0, стремится к единице; следовательно: $\displaystyle \left({\frac {\sin \,x}{x}}\right)_{x=0}=1$.

Подобное же правило существует для раскрытия неопределенности вида $\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}$. К неопределенности этого вида приводятся неопределенности вида: $0.\infty$, $\infty ^{0}.0^{0}$, $1^{\infty }$. К числу неопределенностей вида $1^{\infty }$ принадлежит рассмотренный уже нами

пред. $\displaystyle {\Big (}1+x{\Big )}_{x=0}^{\frac {1}{x}}=e$.

Черт. 6.

Геометрические приложения Д. исчисления. Все геометрические приложения Д. исчисления основаны на задаче о касательных; поэтому мы не будем на ней останавливаться. Заметим кстати, что раз известны координаты $x,y$ точки касания, угол $\alpha$, который касательная составляет с осью $x$-ов и тангенс которого равен производной $y'$, то напишется легко и уравнение касательной:

$\eta -y=y(\xi -x),$

где $x,\ y,\ y'$ числа вполне определенные для каждой точки на заданной кривой, а $\xi$ и $\eta$ — текущие координаты в уравнении прямой линии, в данном случае — нашей касательной. Понятно, что, зная уравнение касательной, по правилам аналитической геометрии напишем уравнение перпендикуляра к этой касательной в точке касания, или так называемой нормали кривой в данной точке касания касательной. Зная же уравнения касательной и нормали, найдем их длины, причем под длиной касательной подразумевается отрезок касательной от точки касания до точки встречи с осью $x$-ов; то же для нормали. Расстояние от точки встречи касательной с осью $x$-ов до основания ординаты точки касания есть так назыв. подкасательная. Подобным же образом вводится в рассмотрение поднормаль. Все это, раз уже написано уравнение касательной, представляется простыми задачами аналитической и обыкновенной геометрии.

Под длиной $s$ дуги между двумя точками подразумевают предел, к которому стремится периметр вписанного в эту дугу многоугольника по мере увеличения числа его сторон. Дифференциал дуги выражается по формуле:

$ds=\pm {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$.

Обращаемся теперь к следующему весьма важному геометрическому приложению Д. исчисления, а именно к изучению кривизны кривых линий на плоскости. Кривизна линии есть понятие первоначальное. Условились измерять ее следующим образом. Возьмем дугу $MM'$ и проведем в концах этой дуги две касательные к кривой линии. Угол, который образуют между собой эти касательные, есть то, что называют кривизною дуги.

Черт. 7.

Если разделим этот угол $\gamma$ на длину дуги $MM'$, то получим число, которое называется среднею кривизною дуги $MM'$. Если теперь будем приближать точку $M'$ вдоль по кривой к точке $M$, то касательная в точке $M'$ будет стремиться совпасть с касательной в точке $M$: угол между касательными имеет пределом ноль, точно так же стремится обратиться в ноль и дуга $MM'$. Отношение $\displaystyle {\frac {\gamma }{\smile MM'}}$ стремится к некоторому пределу, который есть то, что называют кривизною кривой линии в точке $M$ (подробности см. в статье Кривизна). Если на нормали точки $M$ в сторону, куда обращена вогнутость кривой линии, отложим отрезок, равный ${\frac {1}{k}}$, где $k$ кривизна линии в точке $M$, то получим точку $N$, так назыв. центр кривизны. Расстояние $MN={\frac {1}{k}}$ называется радиусом кривизны. Геометрическое место центров кривизны для разных точек заданной кривой есть особенная новая линия, называемая эволютой заданной. Заданная кривая по отношению к ее эволюте называется ее разверткой, или эвольвентой.

Приложение Д. исчисления к геометрии трех измерений основано на том замечании, что поверхность в пространстве определяется уравнением между тремя координатами: $f(x,y,z)=0$. Кривая же линия в пространстве рассматривается как пересечение двух поверхностей и, следовательно, задается двумя уравнениями: $f_{1}(x,y,z)=0$, $f_{2}(x,y,z)=0$. Через решение этих двух уравнений относительно $y$ и $z$ получаем: $y=F_{1}(x)$, $z=F_{2}(x)$. Если мы выберем за $x$ некоторую совершенно произвольную функцию некоторого независимого переменного $t$, так что $x=\varphi (t)$, то, подставляя эту функцию $\varphi (t)$ в выражения для $y$ и $z$, получим: $y=F_{1}[\varphi (t)]=\psi (t)$, $z=F_{2}[\varphi (t)]=\omega (t)$. Итак, мы видим, что координаты точки, лежащей на кривой в пространстве, могут быть выражены как функции от одного и того же независимого переменного $t$, и следовательно, кривая в пространстве может быть выражена тремя уравнениями: $x=\varphi (t)$, $y=\psi (t)$, $z=\omega (t)$, причем так как функция $\varphi (t)$ совершенно произвольна, то определять кривую при помощи подобных функций можно бесчисленным число способов. Всякому значению $t_{0}$ независимого переменного соответствуют вполне определенные значения функций $\varphi ,\ \psi ,\ \omega$ и, следовательно, вполне определенная точка $M_{0}$ на рассматриваемой кривой. Обозначим координаты точки $M_{0}$ через $x_{0},\ y_{0},\ z_{0}$; тогда уравнения касательной, проведенной в точке $M_{0}$ к кривой, напишутся так:

$\displaystyle {\frac {\xi -x_{0}}{dx}}={\frac {\eta -y_{0}}{dy}}={\frac {\zeta -z_{0}}{dz}}$,

что можно написать еще так:

$\displaystyle {\frac {\xi -\varphi (t_{0})}{\varphi '(t_{0})}}={\frac {\eta -\psi (t_{0})}{\psi '(t_{0})}}={\frac {\zeta -\omega (t_{0})}{\omega '(t0)}}$.

Плоскость, перпендикулярная к касательной и проведенная через точку касания, называется нормальной плоскостью. Ее уравнение есть $(\xi -x_{0})dx+(\eta -y_{0})dy+(\zeta -z_{0})dz=0$. Дифференциал дуги кривой линии в пространстве выражается по формуле:

$ds=\pm {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$.

Понятие о кривизне плоских кривых обобщается и на кривые в пространстве, причем под так называемой первой кривизной подразумевают предел отношения угла между касательными в концах дуги к длине самой дуги при уменьшении этой длины до нуля. Обозначая этот предел через $k$, называют величину ${\frac {1}{k}}$ радиусом первой кривизны.

Если через касательную в точке M к кривой двоякой кривизны проведем плоскость, которая встречала бы кривую еще в точке $M'$, бесконечно близкой к точке $M$, то такая плоскость будет стремиться совпасть, по мере приближения точки $M'$ к $M$, с так называемой соприкасающейся плоскостью. Уравнение этой плоскости есть:

$A(\xi -x_{0})+B(\eta -y_{0})+C(\zeta -z_{0})=0$, где $\displaystyle {\frac {A}{\psi '(t_{0}).\omega ''(t_{0})-\omega '(t_{0}).\psi ''(t_{0})}}={\frac {B}{\omega '(t_{0}).\varphi ''(t_{0})-\varphi '(t_{0}).\omega ''(t_{0})}}=$ $\displaystyle ={\frac {C}{\varphi '(t_{0}).\psi ''(t_{0})-\psi '(t_{0}).\varphi ''(t_{0})}}.$

(подробнее см. Соприкасающаяся плоскость).

В пересечении соприкасающейся плоскости с нормальной плоскостью получается т. наз. главная нормаль кривой двоякой кривизны. Соприкасающиеся плоскости в двух точках $M$ и $M'$ кривой образуют между собой угол $\omega$; если мы этот угол разделим на длину дуги $MM'$, то получим дробь, которая по мере уменьшения длины дуги стремится к пределу, называемому второй кривизной кривой линии. Если вторая кривизна равна нулю, то кривая плоская и соприкасающаяся плоскость во всех точках совпадает с плоскостью, в которой лежит кривая.

Переходя к рассмотрению поверхностей, мы замечаем, что если через некоторую точку $M_{0}$ поверхности $f(x,y,z)=0$ координаты которой $x_{0},\ y_{0},\ z_{0}$ удовлетворяют уравнению $f(x_{0},y_{0},z_{0})=0$, проведем всевозможные кривые на поверхности, то касательные ко всем этим кривым лежат в одной плоскости, наз. касательной плоскостью поверхности. Уравнение этой плоскости имеет вид:

$\displaystyle (\xi -x_{0}){\frac {\partial f}{\partial x}}+(\eta -y_{0}){\frac {\partial f}{\partial y}}+(\zeta -z_{0}){\frac {\partial f}{\partial z}}=0.$

Перпендикуляр, проведенный через точку $M_{0}$ к этой плоскости, есть так называемая нормаль поверхности.

Кривизна поверхности изучается по рассмотрению кривизны различных сечений поверхности различными плоскостями (подробнее см. Кривизна).

Приложения Д. исчисления к механике. Мы уже сказали, что кривая линия в пространстве может быть определена тремя уравнениями: $x=\varphi (t)$, $y=\psi (t)$, $z=\omega (t)$. Для механики важен тот случай, когда мы за независимую переменную $t$ принимаем время, отсчитываемое от некоторого момента $t_{0}$, при помощи приборов, служащих для определения времени.

Задача определения криволинейного движения точки приводится к нахождению трех функций $\varphi ,\psi ,\omega ,$ входящих в уравнения этой траектории. Когда эти функции найдены, тогда мы найдем положение точки в пространстве в момент $t_{0}$, подставляя значение $t_{0}$ в функции $\varphi ,\psi ,\omega ;$ получаются значения $x,\ y,\ z$.

Под скоростью в точке $M_{0}$ подразумевается значение производной дуги по времени для момента $t_{0}$. Этим и объясняется, почему Ньютон называл производную флюксией (течением, скоростью). Под направлением скорости подразумевается одно из направлений касательной, проведенной в данной точке (подробнее см. Скорость).

Изменения скорости под влиянием сил — или так называемые ускорения — рассматриваются при помощи вторичного дифференцирования по времени и выражаются по величине и направлению через вторые производные по времени: от координат, а также от дуги.

Указанный способ определять скорости и ускорения приводит к тому, что все задачи механики могут быть положены на так называемые дифференциальные уравнения (см.).

Изложив сущность и главнейшие приложения Д. исчисления, мы должны заметить, что изложение Ньютона и следовавших за ним английских математиков не вводило в рассмотрение дифференциалы. Флюксии Ньютона были не что иное, как производные. Сказанное направление отражается и на английских учебниках последнего времени, где дифференциалам отдается весьма ограниченная роль. Наоборот, в изложении Лейбница все дело основано на дифференциалах, причем под дифференциалом функции Лейбниц подразумевал приращение функции, но при этом добавлял, что с дифференциалами надо производить выкладки так, чтобы отбрасывать бесконечные малые высшего порядка и оставлять только главные части приращения, что согласуется с современным названием дифференциала, как главной части приращения и послужило поводом к нападкам на способ дифференциальный как на способ неточный, между тем как указанное отбрасывание бесконечно малых высшего порядка не вредит точности, ибо в Д. исчислении обычно вводят не сами дифференциалы, а их отношения, а в интегральном исчислении — их суммы. Что же касается рассмотрения пределов отношений и сумм бесконечно малых, то эти пределы не меняются при отбрасывании бесконечно малых высших порядков, что мы уже видели и еще раз увидим в статье Интегральное исчисление, а потому лангранжево изложение Д. исчисления без введения бесконечно малых, при всем его интересе, в настоящее время имеет только историческое значение, ибо теперь нет уже нападок на неточность способа бесконечно малых.

Уже у д’Аламбера мы встречаемся с изложением способа Д. исчисления почти в современном виде (в Энциклопедии под словом: Differentiel). Его изложение встречается затем в сочинениях Кузена и маркиза де Л’опиталя.

Для желающих ознакомиться с историей способов изложения Д. исчисления можно посоветовать обратиться к интересному сочинению: Carnot, «Réflexions sur la méthaphysique du calcul infinitésimal», a также Рахманова: «Опыт о различных теориях Д. исчисления и о сравнении их» (СПб., 1812). Наиболее известные курсы Д. исчисления следующие: Euler, «Institutiones calculi differentialis» (2 т., 1755); Grüfon, «Supplement zu Eulers Differentialrechnung» (Берлин, 1798); Le marquis L’Hôpital, «Analyse des infiniment petits» (Авиньон, 1768); Cousin, «Traité de calcul différentiel et de calcul intégral» (Paris, 1796); Lacroix, «Traité du calcul diff. et du calcul intégral» (3 т., П., 1810—1819); его же, «Traité élémentaire de calcul diff. et intégr.» (6-е изд., revue et augmenté de notes par M. M. Hermite et Serret, П., 1861-62); Гурьев, «Д. и инт. исчисление, собранное на франц. яз. г. Кузеном и приумноженное С. Гурьевым» (СПб., 1801); Cauchy, «Leçons sur le calcul infinitésimal» (Paris, 1823); его же, «Leçons sur les applications de calcul infinitésimal à la géométrie» (2 т., П., 1826); Коши, «Д. и инт. исчисление», пер. Буняковского (1831); Duhamel, «Cours d’Analyse de l’Econe polytechnique» (Пар., 1840); L’abbé Moigno, «Leçons de calcul diff. et de calcul intégral» (Пар., 1840-44); Зернов, «Д. исчисление с приложением к геометрии» (М., 1842); О. Schlömilch, «Handbuch der Differencial und Integralrechnung» (1846-48); Беренс «Курс Д. исчисления» (СПб., 1849); Laurent, «Traité de calcul différentiel» (П., 1853), Duhamel, «Elements de calcul infinitésimal» (2 т., П., 1860-61); Sturm, «Cours d’analyse de l’Ecole polytechnique» (2 т., П., 1857-59); Дингер, «Д. и интегр. исчисление», перев. Лаглинского и Эшлимана (СПб., 1861); Freycinet, «De l’analyse infinitésimal» (Пар., 1860); Савич, «Начальные основания Д. и инт. исчисления» (СПб., 1861); О. Schlömilch, «Compendium der höheren Analysis» (Брауншв., 1866), Bertrand, «Traité de calcul diff. et de calcul intégral». (Пар., 1864). Из многочисленных новейших курсов Д. исчисления упомянем о следующих, изданных на русском яз.: Хандриков, «Курс анализа» (Киев); Рощин, «Курс Д. и инт. исчисления» (СПб.), Деларю, «Курс Д. исчисления».

Д. Граве.