ЭСБЕ/Двучлен

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Двучлен
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Давенпорт — Десмин. Источник: т. X (1893): Давенпорт — Десмин, с. 227—228 ( скан · индекс )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Двучлен (мат.) — В добавление сказанного в ст. Бином (см.) заметим по поводу бинома Ньютона. Уже Вьетту было известно, что от возвышения Д. а + b в какую угодно целую положительную степень n получается формула вида

(1)

где в правой части многочлен, состоящий из n+1 членов. В каждом из них сумма показателей над а и над b равна n. Кэффициенты же — суть некоторые целые числа. Ньютон первый показал закон составления этих коэффициентов. Коэфф. Рk оказывается равным числу сочетаний из n предметов по k (см. Сочетания), или, выражая это формулой

(2)

Уже Ньютон, а за ним и все остальные математики, между прочим Эйлер, рассматривали формулу, приведенную выше, также и для n дробных и отрицательных. В этих случаях представляется уже не в виде многочлена с n+1 членами, а в виде бесконечного ряда, начинающегося с членов

причем вычисляется по формуле (2) и может не быть целым числом. Бесконечные ряды употребляются лишь в том случае, когда эти ряды суть так назыв. сходящиеся (см. Ряд). Полагая мы приходим к рассмотрению выражения или, другими словами, к нахождению суммы ряда

для всех значений х и n действительных или мнимых, для которых ряд сходящийся. Полное решение послднего вопроса представляет знаменитая работа норвежского математика Абеля: «Recherches sur la série » (см. журнал Crell'я, т. I, 1826). Ограничиваясь вещественными значениями х и m, замечаем, что формула

1) при n целом и положительном справедлива, каково бы ни было значение x;

2) при n не равном целому и положительному числу имеет место при

3) при имеет место, когда

4) при имеет место, когда

Бином Ньютона дает возможность вычислять корни по приближению. Например:

Вычисляя только написанные четыре члена, мы получим для число 1,70997858, в котором верны пять знаков после запятой.