ЭСБЕ/Шаровые функции

Шаровые функции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Чугуев — Шен. Источник: т. XXXIX (1903): Чугуев — Шен, с. 185 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Шаровые функции — представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).

Введем обозначения: МС=R, СО=ρ, МО=r, угол МСО=ω.

Из треугольника MCO следует, что

Это выражение можно представить:

(в случае I) или

(в случае II).

Полагая $\cos \omega =x$, ${\frac {R}{\rho }}$ или ${\frac {\rho }{R}}$ равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через

, где $\alpha <1$.

Во многих вопросах математической физики приходится ${\frac {1}{R}}$ разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функциипо степеням α. Выполнив это разложение, получим:

где $P_{0}=1,P_{1}=x,P_{2}={\tfrac {3}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},P_{3}={\tfrac {5}{2}}x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x,\ ...P_{n}=$

Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.

При помощи строки Лагранжа доказывается, что $P_{n}(x)$ есть n-ая производная целой функции:

${\frac {(x^{2}-1)^{n}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...n\cdot 2^{n}}}$.

Уравнение $P_{n}(x)=0$ имеет все корни вещественные, лежащие между -1 и +1.

Функция $P_{n}(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:

$(1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0$.

Между тремя последовательными функциями $P_{n}$, $P_{n-1}$ и $P_{n-2}$ имеет место соотношение:

$nP_{n}-(2n-1)\times P_{n-1}+(n-1)P_{n-2}=0$.

Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, «Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte» (изд. доктора F. Grube’a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, «Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen» (2 т., Б., 1878, 1881).

Д. С.