ЭСБЕ/Шаровые функции

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Шаровые функции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Чугуев — Шен. Источник: т. XXXIX (1903): Чугуев — Шен, с. 185 ( скан · индекс )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Шаровые функции — представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b77 185-0.jpg

Введем обозначения: МС=R, СО=ρ, МО=r, угол МСО=ω.

Из треугольника MCO следует, что

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b77 185-1.jpg

Это выражение можно представить:

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b77 185-2.jpg

(в случае I) или

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b77 185-3.jpg

(в случае II).

Полагая , или равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b77 185-4.jpg, где .

Во многих вопросах математической физики приходится разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функцииBrockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b77 185-5.jpgпо степеням α. Выполнив это разложение, получим:

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b77 185-6.jpg

где Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b77 185-7.jpg

Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.

При помощи строки Лагранжа доказывается, что есть n-ая производная целой функции:

.

Уравнение имеет все корни вещественные, лежащие между -1 и +1.

Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:

.

Между тремя последовательными функциями , и имеет место соотношение:

.

Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, «Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte» (изд. доктора F. Grube’a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, «Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen» (2 т., Б., 1878, 1881).

Д. С.