ЭСБЕ/Биномиальные коэффициенты

Биномиальные коэффициенты
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Бергер — Бисы. Источник: т. IIIa (1891): Бергер — Бисы, с. 872—873 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Биномиальные коэффициенты — так называются количества: $1,\,{\frac {n}{1}},\,{\frac {n\,(n-1)}{1\cdot 2}},\,$${\frac {n\,(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}},\,\dots ,\,{\frac {n\,(n-1)(n-2)\dots (n-m+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot m}},$ составляющие коэффициенты последовательных членов бинома Ньютона (см. Бином). Их обозначают в настоящее время часто знаком ${\binom {n}{m}}.$ Общий вид Б. коэффициента может быть написан кратко следующим образом: ${\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}},$ где $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n$ и т. п. Б. коэффициенты обладают многими интересными свойствами, которые легко получаются как частные случаи свойств членов самого бинома Ньютона. Вот некоторые из этих свойств: ряд Б. коэффициентов имеет один максимум, для $n>1,$ или один минимум, для $n<1.$ Сумма всех Б. коэффициентов равна $2^{n}.$ С увеличением $n$ до бесконечности ряд Б. коэффициентов стремится совпасть с рядом значений функции $e^{-x^{2}}.$ Если $n$ есть число простое, то всякий Б. коэффициент делится на $n$ и др.