ЭСБЕ/Гамильтонов принцип

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гамильтонов принцип
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Гальберг — Германий. Источник: т. VIII (1892): Гальберг — Германий, с. 66—67 ( скан · индекс )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Гамильтонов принцип, или начало Гамильтона, в механике и математической физике служит для получения дифференциальных уравнений движения. Этот принцип распространяется на всякие материальные системы, каким бы силам они ни были подвержены; сначала мы выскажем его в том виде, какой он принимает, если силы имеют потенциал, зависящий или не зависящий от времени явным образом.

Пусть q1, q2, q3… независимые координаты, или координатные параметры, определяющие положение материальной системы; положим, k есть число этих параметров. Пусть U есть потенциал сил, действующих на систему; U есть функция от q1, q2, q3… и может быть еще и функцией от t. Пусть Т означает живую силу материальной системы; это есть функция от t, q1, q2, q3… и от производных

относительно этих производных Т есть функция второй степени.

Если бы вопрос о движении системы при действии данных сил был решен, то координаты q выражались бы функциями времени t и 2k произвольных постоянных C1, C2, C3,… ; пусть эти функции будут: f1, f2, f3,…

Составим сумму T + U, которую обозначим через L. Согласно вышесказанному, это есть функция от t, координат q и их производных q′; но если мы подставим вместо q1, q2, q3… соответствующие им функции f1, f2, f3,…, а вместо производных q1′, q2′,… производные по t от соответствующих функций f, то L обратится в функцию от t и от 2k произвольных постоянных C.

Предположив, что L выражена таким образом, возьмем интеграл от Ldt между произвольными пределами: нижним t1 и верхним t2; полученный интеграл, который обозначим через S:

 

 

 

(I)

будет функцией от t2, t1 и величины C.

Предположим, что положения материальной системы в моменты t1 и t2 вполне обозначены, так что координаты q имеют определенные значения для момента t1 и другие определенные значения для момента t2, тогда по этим 2k данным найдется по меньшей мере одна совокупность значений 2k величин C1, C2, C3,… ; обозначим найденные величины малыми c1, c2, c3,…

Под влиянием данных сил материальная система перейдет из данного первого положения в положение второе по таким путям, на которых вышесказанные величины C будут сохранять постоянные значения c1, c2, c3 …; эти пути или этот путь системы условимся называть прямым путем.

Однако есть возможность перевести ту же материальную систему из первого положения во второе в течение времени (t2t1) по другому, окольному, пути; для этого надо присоединить к данным силам еще новые силы или же сообщить ей во время движения ряд толчков. Так как добавочные силы или толчки могут быть бесконечно разнообразны, то и окольные пути будут столь же разнообразны. На каждом из окольных путей C будут уже не постоянны, но будут изменяемы с течением движения в зависимости от вида окольного пути; но только они должны будут иметь значения c1, c2, c3,… в конечных положениях системы — первом и втором.

Предположим, что будем рассматривать окольные пути бесконечно мало отличающиеся от прямого; тогда значения С на этих путях будут отличаться от постоянных c1, c2, c3,… на ничтожно малые величины δC1, δC2, δC3, которые мы назовем вариациями этих постоянных. Вариации δC1, δC2, δC3,… суть функции от t произвольного вида, обращающиеся в нуль при t1 и t2 и имеющие ничтожно малые величины при промежуточных значениях t.

Если постоянные С получают вариации на окольных путях, то и величина S варьируется. Принцип Гамильтона состоит в том, что вариация первого порядка интеграла S равна нулю для всяких окольных путей, бесконечно мало отличающихся от прямого.

Равенство δS=0 может быть представлено следующим образом:

 

 

 

(II)

причем вариации от T и U можно представить в виде сумм:

Поступив с равенством (II) так, как объяснено в статье «Вариационное исчисление» (т. V, стр. 524), получим из равенства (II), выражающего принцип Гамильтона, Лагранжевы дифференциальные уравнения движения рассматриваемой материальной системы, т. е. уравнения:

и проч.

Подробнее о начале Гамильтона см. C. G. J. Jacobi, «Vorlesungen über Dynamik» (1866), или в полном издании сочинений Якоби, Supplementband.

Равенство δS = 0 выражает, что интеграл S есть minimum, maximum или minimax; для суждения о том, который из этих случаев имеет место, надо составить и определить знак вариации второго порядка от S.

Принцип Гамильтона имеет место и тогда, когда силы не имеют потенциала; он тогда выражается так:

 

 

 

(III)

где Q есть составляющая сил по координатному параметру q. О применении этого принципа к составлению дифференциальных уравнений гидродинамики и теории упругости см. Kirchhoff, «Vorlesungen über mathematische Physik», «Mechanik» (1874); «Mathematical papers of the late George Green» (1871).

Д. Б.