ЭСБЕ/Изменение переменной независимой

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Изменение переменной независимой
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Земпер — Имидокислоты. Источник: т. XIIa (1894): Земпер — Имидокислоты, с. 855—856 ( скан · индекс )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Изменение переменной независимой. — Под этим названием известна одна из основных задач дифференциального и интегрального исчислений. И. переменой независимой делается обыкновенно с целью привести дифференциальное уравнение, не поддающееся непосредственному интегрированию, к другому, которое представлялось бы одним из классов, удобных для интегрирования. Чтобы разъяснить, в чем состоит И. переменной независимой заметим, что величины первых дифференциалов не зависят от того, которую из переменных считают за независимую. Первый дифференциал функции всегда выражается формулой причем, если желательно ввести новую независимую переменную t так, что прежняя независимая переменная x будет некоторой новой функцией от t, φ (t), то вместо x придется подставить φ(t), а вместо dx величину Не останавливаясь на этом случае, рассмотрим И. переменной независимой для дифференциалов высших порядков. Пусть дана функция Требуется ввести вместо независимой переменной x, ее функции у и всех производных, входящих в выражение новую независимую переменную ξ, ее новую функцию η и производные от этой функции η по ξ, которые означим через так что будет Здесь всегда предполагается, что задана такая связь между старыми переменными x и у, с одной стороны, и новыми ξ и η, с другой, что возможно выразить функцию в виде некоторой функции от новых переменных. И так задача И. переменной независимой состоит в том, чтобы данное дифференциальное уравнение привести соответствующим выбором новых переменных к виду которое было бы удобнее трактовать. — Такое же значение имеет И. переменной независимой в случае, когда независимых переменных много, например в случае дифференциальных уравнений с частными производными. Для примера рассмотрим уравнение колебания струны:

Изменим независимые переменные так, чтобы искомая функция и осталась прежняя и введем только новые независимые переменные ξ и η при помощи уравнений

Отсюда будет

и, следовательно, заданное дифференциальное уравнение обратится в более простое

которое интегрируется непосредственно. Общее его решение будет (см. Интегрирование уравнений). — Об изменении переменной независимой под знаком неопределенного интеграла см. Интегральное исчисление.