ЭСБЕ/Наибольшие и наименьшие показатели

Наибольшие и наименьшие показатели
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Московский Университет — Наказания исправительные. Источник: т. XX (1897): Московский Университет — Наказания исправительные, с. 464—466 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Википроекты
- Википедия (поиск)
- Данные

Наибольшие и наименьшие показатели. — Способ Н. и наименьших показателей был предложен Ньютоном для разложения переменного $y$ в ряд по убывающим или по возрастающим степеням переменного $x$ в тех случаях, когда $x$ и $y$ связаны уравнением вида $f(x,y)=0.$ Способ этот, называемый также параллелограммом Ньютона, может иметь широкое применение к теории алгебраических функций, к исследованию особых точек кривых, к теории дифференциальных уравнений и так далее. Пусть данное уравнение будет:

(1) ... $a_{0}x^{m_{0}}y^{n_{0}}+a_{1}x^{m_{1}}y^{n_{1}}+a_{2}x^{m_{2}}y^{n_{2}}+\dots =0$

Цель рассматриваемого способа заключается в отыскании разложения переменного $y$ по степеням переменного $x,$ т. е. в нахождении для разложения: $y=Ax^{\alpha }+By^{\beta }+Cy^{\gamma }$ показателей: $\alpha ,\beta ,\gamma \dots$ и коэффициентов: $A,B,C\dots$ Положим, что требуется найти разложение по восходящим степеням, т. е. что: $\alpha <\beta <\gamma \dots$ Вставив в данное уравнение (1) вместо $y$ величину $Ax^{\alpha }$ получим:

(2) ... $A^{n_{0}}a_{0}x^{m_{0}+n_{0}\alpha }+A^{n_{1}}a_{1}x^{m_{1}+n_{2}\alpha }+A^{n_{2}}a_{2}x^{m_{2}+n_{2}\alpha }+\dots ;$

‎если $\alpha$ наименьший показатель в искомом разложении, то (по Ньютону) среди величин:

(3) ... $m_{0}+m_{0}\alpha ;m_{1}+m_{1}\alpha ;m_{2}+m_{2}\alpha \dots$

‎найдутся по крайней мере две, которые будут равны между собой и меньше остальных величин ряда (3). В силу этого принципа задача о нахождении $\alpha$ сводится к тому, чтобы составить всевозможные равенства из величин ряда (3), приравнивая их одну другой, из полученных уравнений определить различные значения $\alpha$ и из этих значений выбрать такие, которые обращали бы соответственные равные величины ряда (3) в наименьшие. Выбранные таким порядком значения и будут наименьшими показателями разложения. Сколько определится наименьших показателей, столько будет и разложений, удовлетворяющих вопросу. Для определения коэффициента $A,$ вставим один из найденных наименьших показателей вместо $\alpha$ в уравнение (2) и приравняем нулю сумму коэффициентов тех членов этого уравнения, которые окажутся содержащими одинаковые степени переменного $x.$ Таким образом получим уравнение, из которого определится $A.$ Найдя $\alpha$ и $A,$ полагаем: $y=Ax^{\alpha }+y_{1}.$ Вставляя эту величину переменного $y$ в данное уравнение (1), получим уравнение вида $F(x,y_{1})=0,$ с которым поступаем так, как до сих пор поступали с данным уравнением, причем найдем второй член $Bx^{\beta }$ искомого разложения. Однако, здесь мы выбираем только тех показателей переменного $x$ в разложении $y,$ которые, удовлетворяя началу наименьших показателей, будут более найденного $\alpha .$ Затем, полагая $y_{1}=Bx^{\beta }y_{1}1$ преобразуем уравнение $F(x,y_{1})=0$ в уравнение $F_{1}(x,y_{11})=0$ и продолжаем вычисление для определения $Cy\gamma$ и дальнейших членов разложения. Для нахождения таких значений $\alpha ,$ при которых некоторые из величин ряда (3) вышли бы равными между собой и меньшими остальных, служит табличка (см. ниже). Пусть дано уравнение:

(1)′... $x^{2}y^{3}-3x^{3}y^{2}-3y^{2}+xy+x^{4}<+1=0$

Вставляя в него вместо $y$ величину $Ax,$ получим:

(2)′ ... $A^{3}x^{3\alpha +2}-3A^{2}x^{2\alpha +3}-A^{2}x^{2\alpha }+Ax^{\alpha +1}+1=0$

Показатель $2\alpha +3$ второго члена уравнения (2) не следует принимать в рассмотрение, потому что он при всяких $\alpha$ более показателя $2\alpha$ третьего члена. Ряд, соответственный ряду (3) изложенной выше теории, будет:

(3)′ ... $3\alpha +2;2\alpha ;\alpha +1;0.$

Найдя всевозможные уравнения, составленные из этих величин, как то: $3\alpha +2=2\alpha ;$ $3\alpha +2=\alpha +1$ и проч. и вставляя в ряд (3) определенные из этих уравнений значения $\alpha ,$ составляем табличку:

Величины ряда (3)′	I	II	III	IV	V	VI
Величины ряда (3)′	α = − 2	α = − ¹/₂	α = − ²/₃	α = + 1	α = 0	α = − 1
3α + 2	− 4	+ ¹/₂	0	5	2	+ 1
2α	− 4	− 1¹/₂	− ⁴/₃	2	0	− 2
α + 1	− 1	¹/₂	¹/₃	2	1	0
0	0	0	0	0	0	0

Началу наименьших показателей удовлетворяет только $\alpha =-2$ и $\alpha =0,$ потому что только в 1-м и V-м столбцах мы находим величины, равные между собой и меньшие сравнительно с другими величинами своего столбца; именно в 1-м столбце число −4 стоит против $3\alpha +2$ и против $2\alpha ,$ в V-м столбце число 0 стоит против $2\alpha$ и против 0. Напр. IV столбец и соответственная ему величина $\alpha =+1$ не годятся, потому что, хотя в этом столбце число 2 встречается два раза, но в нем же есть число 0, которое меньше чем 2. Итак, возможны два допущения для первого члена искомого разложения: $A_{1}x^{-2}$ и $A_{2}x^{0}.$ Для определения $A_{1}$ замечаем, что при подстановке −2 вместо $\alpha$ в уравнение (2)′ окажутся равными показатели членов: $A^{3}x^{3\alpha +2}$ и $A^{2}x^{2}\alpha .$ Приравнивая сумму их коэффициентов нулю, получим: $A^{3}-A^{2}=0,$ откуда $A_{1}=1.$ Точно так же найдем (из подстановки числа 0 вместо $\alpha$ ), что $A_{2}=\pm 1.$ Итак, получим три разложения:

{\begin{aligned}&y=x^{-2}+\dots \\&y=+1+\dots \\&y=-1+\dots \end{aligned}}

Указанным в приведенной выше теории порядком найдем и остальных членов этих разложений. Остановимся, напр., на первом разложении. Первый член его мы нашли равным $x^{-2}.$ Чтобы найти следующий член, полагаем: $y=x^{-2}+y_{1}.$ Вставив эту величину $y$ в данное уравнение, получим:

x^{2}(x^{-2}+y_{1})^{3}-(3x^{3}+1)(x^{-2}+y_{1})^{2}+x(x^{-2}+y_{1})+x^{4}+1=0;

‎поступая с полученным уравнением подобно тому, как поступали с данным, определим $B$ и $\beta$ и так далее. В получаемом таким путем разложении по восходящим степеням переменного $x$ можно пренебрегать высшими степенями этого переменного, если $x$ небольшая величина. Если же $x$ величина большая, то можно пренебрегать его малыми степенями, а потому в этом случае удобнее стремиться найти разложение $y$ по нисходящим степеням переменного $x.$ В этом случае прибегают к способу Н. показателей, совершенно сходному со способом показателей наименьших. Рассматриваемый способ был дан Ньютоном в знаменитом его сочинении: «Methodus fluxionum et serierum infinitarum cum ejusdem applicatione ad curvarum geometriam». Затем этот способ положен основанием изучения алгебраических кривых в сочинении Крамера: «Introduction à l’analyse des lignes courbes algebriques» (1750). Лиувилль применил этот способ к вычислению некоторых симметрических функций: «Jonrnal des Mathématiques pures et appliquées» (т. VI). Пюизе прилагал этот способ к теории алгебраических функции, Бугаев — к теории дифференциальных уравнений: «Математический Сборник» (т. XVI). Геометрическое построение, соответствующее этому способу, изложено в «Аналитической Геометрии» Д. А. Граве. В аналитической форме способ Н. и наименьших показателей изложен у Serret в его «Cours d’algèbre superieure» (т. II) и у Бугаева в его ст.: «Различные приложения начала Н. и наименьших показателей к теории алгебраических функций» («Матем. Сборник», т. XIV).

Н. Д.