ЭСБЕ/Радикал, в математике

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Радикал
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Рабочая книжка — Резолюция. Источник: т. XXVI (1899): Рабочая книжка — Резолюция, с. 75 ( скан · индекс )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Радикал. — Один из корней двучленного уравнения называется радикалом и обозначается . Здесь а называется подкоренным числом, nпоказателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться преобразованиям при помощи формул:

, , , , .

Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Р. из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. Мнимые величины) и представляется под видом

, где r > 0.

Для n значений Р. получается выражение

,

где k = 0, 1, 2, …, n—1. В правой части положительное число, n-ая степень которого равна r. При помощи Р. можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Р. возможно только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова «Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами» (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение не решается в Р., если v не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Р. равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом основании Гаусс в своем сочинении «Disquisitiones arithmeticae» (в «Gauss Werke», т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит семнадцатиугольник.