ЭСБЕ/Угол

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Угол
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Углерод — Усилие. Источник: т. XXXIVa (1902): Углерод — Усилие, с. 524—526 ( скан )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Угол (мат.). — Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1).

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 524-1.jpg

Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла.

Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β1Ο1Α1. Наложим их так, чтобы вершины О и 01 совпали и чтобы сторона O1A1 совпала со стороной ОА. Если при этом сторона О1В1 совпадет со стороной 0В, то говорят, что углы ΒΟΑ и В1О1А1 равны.

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 524-2.jpg

Если сторона О1В1 пойдет внутри угла BOA (черт. 2), то угол АОВ больше угла В1О1А1. Если же чертеж имеет вид (черт. 3), то угол АОВ меньше угла А1О1В1.

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 525-1.jpg

Два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, наз. прилежащими, таковы, напр., углы АОВ и BOC (черт. 4).

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 525-2.jpg

Стороны ОА и ОС наз. внешними сторонами прилежащих углов.

Смежными углами наз. такие прилежащие углы, внешние стороны которых составляют одну прямую (черт. 5).

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 525-3.jpg

Угол наз. прямым, если он равен углу смежному из ним (черт. 6).

Говорят, что прямая ОВ (черт. 6) перпендикулярна к прямой СА, если она образует равные смежные углы АОВ и СОВ.

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 525-4.jpg

Все прямые углы равны между собой. Угол больший прямого наз. тупым, а меньший прямого — острым. Если построим два прилежащих угла так, чтобы один из них равнялся углу АОВ, а другой углу А1О1В1, то внешние стороны этих прилежащих углов образуют угол равный сумме углов АОВ и Α1Ο1Β1.

Сумма смежных углов равна двум прямым.

Если из точки О на плоскости проведем несколько лучей, напр. ОА, ОВ, ОС, OD и OE (черт. 7), то получим углы ВОА, ВОС, COD, DOE и ЕОА, сумма которых равна четырем прямым.

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 525-5.jpg

Две пересекающиеся прямые AB и CD (черт. 8) образуют четыре угла a, b, с, d.

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 525-6.jpg

Из них а и b смежные; углы же а и d или же b и с наз. вертикальными. Существуют равенства:

а = d и b = с.

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 525-7.jpg

Углы, образованные двумя прямыми AB и CD при пересечении третьей прямою EF (черт. 9) имеют особые названия.

Такие углы, как а и е, называются соответственными

Такие углы, как с и f, называются внутренними накрест лежащими

Такие углы, как a и h, называются внешними накрест лежащими

Такие углы, как c и e, называются внутренними односторонними

Такие углы, как a и g, называются внешними односторонними.

Для того чтобы прямые AB и CD были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место одно из равенств вида

a = е, с = f, a = h, с + е = двум прямым, а + g = двум прямым.

Представим себе круг, в центре которого О находится вершина угла. Если стороны угла проходит через точки А и B, лежащие на окружности, то угол А ОВ измеряется дугою AB. Мерою угла служит отвлеченное число, равное отношению дуги AB к радиусу круга. Угол выражают также в градусах. Если, напр., угол АОВ содержит один градус, то это значит, что дуга AB составляет одну 360-ую часть окружности.

Угол, вершина которого находится в центре круга, наз. центральным. Если же вершина угла находится на окружности в точке А, а стороны проходят через точки В и С, лежащие на окружности, то угол ВАС называется вписанным. Этот угол измеряется половиною дуги ВС. Если же вершина угла находится вне круга, а стороны AB и АС касаются круга в точках В и С, то угол называется описанным. Он измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Две прямые на плоскости или пересекаются, или параллельны. В пространстве прямые могут не пересекаться и в то же время не быть параллельными. Предположим, что прямые а и b не пересекаются и не параллельны. Углом между этими прямыми назыв. тот угол, который получим, проведя из какой-нибудь точки пространства О прямые ОА и ОВ, параллельные прямым а и b.

Предположим, что прямая AB пересекает плоскость P в точке А (черт. 10).

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 526-1.jpg

Если окажется, что две прямые АС и AD, проведенные на плоскости P через точку А, перпендикулярны к AB, то и всякая прямая АЕ, находящаяся в плоскости Р, будет перпендикулярна к AB. В этом случае говорят, что прямая AB перпендикулярна к плоскости Р.

Две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол. Линия пересечения этих плоскостей назыв. ребром двугранного угла; плоскости, образующие угол, назыв. сторонами угла.

Предположим, что плоскости АР и BQ пересекаются по прямой AB (черт. 11).

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 526-2.jpg

Возьмем на ребре AB какую-нибудь точку С и проведем в плоскостях АР и BQ прямые CD и СЕ, перпендикулярные к AB. Получим угол ECD, который назыв. линейным углом двугранного угла QABP.

Двугранный угол измеряется соответствующим ему линейным У. Если угол ECD (черт. 11) прямой, то и двугранный У. прямой. В этом случае говорят, что плоскость АР перпендикулярна к плоскости BQ.

Если прямая AB перпендикулярна к плоскости P (черт. 10), то всякая плоскость, проходящая через AB, будет перпендикулярна к плоскости Р.

Предположим, что дана плоскость P и прямая AB (черт. 12).

Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b68 526-3.jpg

Проведем через AB плоскость, перпендикулярную к Р. Пусть эти плоскости пересекаются по прямой CD. Углом прямой AB с плоскостью P назыв. угол, образованный прямыми AB и CD.

Несколько плоскостей, проходящих через точку О и пересекающихся по прямым О А, 0В, ОС, OD и ОЕ, образуют многогранный угол, точка О назыв. вершиной, плоскости BOA, COB, DOC, EOD и ЕОАгранями, прямые ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ — ребрами, углы BOA, COB, DOC, EOD и ЕОА — плоскими углами многогранного угла.

Многогранный угол назыв. выпуклым, если он весь расположен по одну сторону каждой из его граней.

В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 4-х прямых.

Д. С.