Эллиптические интегралы и функции. — Э. интегралами называются все квадратуры вида:
где
есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от
;
есть какая-либо рациональная функция от
и
. Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода.
Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:
![{\displaystyle F(\varphi )=\int \limits _{0}^{\Phi }{\frac {d\varphi }{\Delta \varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b667977e2c0e51346ca56ead9f92c94f0c506a)
|
|
(1),
|
где
означает корень:
.
Значит
есть функция от
, верхнего предела
, заключающая в себе еще постоянную величину
, называемую модулем.
Если положим
, то интеграл
, который теперь обозначим через
, будет иметь вид:
Так как
есть функция от
, то, обратно,
есть функция от
. Эту обратную функцию называют амплитудой от
по модулю
. Ее обозначают так:
или просто
. Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием
функция
возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда
достигает величин
,
,
,
, ...., то и достигает величин
..., где
![{\displaystyle K=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\Delta \varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c132dd2f123d042802b864df96079efc8b4df3bb)
|
|
(2),
|
Величины
,
и
суть Э. функции от
; так как
, то:
;
,
;
эти функции от и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что:
![{\displaystyle ~d\varphi =d.\operatorname {am} u=du.\Delta \varphi =\Delta \operatorname {am} u.du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beea573ea6c1933906d0386207a3045e11637a6b)
|
|
(3).
|
Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:
![{\displaystyle E(\varphi )=\int \limits _{0}^{\varphi }\Delta \varphi \,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede9c8401c34088155af63858aa375d9ef77a6dc)
|
|
(4),
|
а если, согласно предыдущему, ввести вместо
выражение (3) его в
, то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:
![{\displaystyle E(u)=\int \limits _{0}^{u}\Delta ^{2}\operatorname {am} u\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989cfb376daba3258a63d99b7ca0e29e3a2c10c8)
|
|
(5),
|
При
равном
, когда
(по формуле (2)) обращается в
, интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой
:
![{\displaystyle E=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\Delta \varphi \,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4329a57ff24b58b821c551a730c1c9e226543bc7)
|
|
(6),
|
а по формуле (5):
.
Дополнительным модулем назыв. величина
, квадрат которой равен
, так что
. Означим через
следующий корень:
и составим следующие интегралы:
Лежандр показал, что между четырьмя величинами
,
,
и
существует следующая зависимость:
![{\displaystyle KE'+K'E-KK'={\tfrac {1}{2}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41a06a300a20da1cd59d18d10c57488daa00491)
|
|
(7).
|
Интегралы третьего рода имеют такой вид:
Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:
![{\displaystyle \Pi (u,a)=A\int \limits _{0}^{u}\operatorname {Sin} ^{2}\operatorname {am} u\,x{\frac {du}{(1-k^{2})\operatorname {Sin} ^{2}\operatorname {am} a\operatorname {Sin} ^{2}\operatorname {am} u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e8ba6303929979e599d2267f6ef77e5b3d4dc2)
|
|
(8),
|
где
.
Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции
или
, называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:
![{\displaystyle ~\Theta (u)=1-2q\operatorname {Cos} 2x+2q^{4}\operatorname {Cos} 4x-2q^{9}\operatorname {Cos} 3x+2q^{16}\operatorname {Cos} 8x-...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90773f34e900805df17c79ce3229293478e62427)
|
|
(9)
|
или в виде суммы бесконечного числа членов
![{\displaystyle \Theta (u)=\vartheta (x)=\sum (-1)^{n}q^{n2}e^{2nxi}...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf739cc453e783876a3887bb290571b91cab6360)
|
|
(10).
|
Здесь
имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:
,
,
,
в сумме
означает всякие целые полож. и отриц. числа от
до
.
При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:
![{\displaystyle E(u)=\left({\frac {E}{K}}\right)u+{\frac {\Theta '(u)}{\Theta (u)}}...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c0ac87a98224c550e7913c6f5176e64cdd66619)
|
|
(11)
|
![{\displaystyle \Pi (u,a)=u{\frac {\Theta (a)}{\Theta '(a)}}+{\tfrac {1}{2}}\log {\frac {\Theta (u-a)}{\Theta (u+a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90783d3fafa0d82f8abfae60810665fd772faff)
|
|
(12),
|
где
означает производную от
по
.
Из функции
Якоби составляет еще три функции следующим образом.
Если прибавить к
величину
, то к
прибавится величина
, а если прибавить к
величину
, то к
прибавится
. Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:
,
где
.
В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:
,
,
,
где
.
Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.
Если
есть комплексная переменная (см. Мнимые величины, XIX, 542):
, то каждая из этих функций обратится в
, где
и
будут функциями от
и
, т. е.:
,
.
Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы
и ординаты
. Обе эти поверхности периодичны и имеют период
параллельно оси абсцисс и другой период
параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты:
,
,
,
одинаковы.
Вейерштрасс (VI, 488) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:
![{\displaystyle \mathrm {u} =\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {4y^{3}-g_{2}y-g_{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fc90421eeab7fb5f783ac0cd463c13393733b7)
|
|
(13).
|
Нижний предел
этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от
; эту функцию обозначим так:
;
квадрат её производной по
выразится так:
![{\displaystyle (\mathrm {p'u} )^{2}=\left({\frac {d\mathrm {pu} }{d\mathrm {u} }}\right)^{2}=4(\mathrm {pu} )^{3}-g_{2}\mathrm {pu} -g_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047b683eb91f3b37ff1de6131dfa0c35925901ac)
|
|
(14).
|
Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:
,
где
,
,
суть три корня уравнения третьей степени
. Величины
и
называются инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение
называется дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е.
, то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через
больший, через
средний и через
меньший корень, причем
положительная величина,
— величина отрицательная. Сумма
равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через
, действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через
. В этом случае, конечно, также
.
Функция
имеет два примитивные периода
и
,
причем
,
, а если положить
, то
.
Величины
и
выражаются так:
,
.
Когда
есть действительная величина, то точки 0,
,
находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.
Когда
есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0,
,
, образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины
отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.
Функция
может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:
;
отсюда не трудно выразить в
все три Э. функции.
Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию
, удовлетворяющую дифференциальному уравнению:
.
Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: «Fundamenta nova theoriæ functionum ellipticarum» (в 1-м томе «Jacobi’s gesammelte Werke», Б., 1881); Durège, «Theorie der elliptischen Functionen» (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, «Traité des fonctions elliptiques» (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, «Principes de la théorie des fonctions elliptiques» (П., 1897); Schwarz, «Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass»; Enneper, «Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte» (2-е изд., Галле, 1890).
Д. Б.