ЭСБЕ/Эллиптические интегралы и функции

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск

Эллиптические интегралы и функции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Электровозбудительная сила — Эрготинъ. Источник: т. XLa (1904): Электровозбудительная сила — Эрготин, с. 657—660
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Эллиптические интегралы и функции. — Э. интегралами называются все квадратуры вида:

где есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от ; есть какая-либо рациональная функция от и . Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода.

Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:

, (1)

где означает корень:

.

Значит есть функция от , верхнего предела , заключающая в себе еще постоянную величину , называемую модулем.

Если положим х = Sinφ, то интеграл F(φ), который теперь обозначим через u, будет иметь вид:

Так как есть функция от , то, обратно, есть функция от . Эту обратную функцию называют амплитудой от по модулю . Ее обозначают так: или просто . Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием функция возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда достигает величин , , , , ...., то и достигает величин K, 2K, 3K, 4K..., где

, (2)

Величины , и суть Э. функции от ; так как , то:

; ,

;

эти функции от и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что:

. (3)

Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:

, (4)

а если, согласно предыдущему, ввести вместо выражение (3) его в , то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:

, (4)

При равном , когда (по формуле (2)) обращается в , интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой :

, (6)

а по формуле (5):

.

Дополнительным модулем назыв. величина , квадрат которой равен , так что . Означим через следующий корень:

и составим следующие интегралы:

,

,

Лежандр показал, что между четырьмя величинами , , и существует следующая зависимость:

(7).

Интегралы третьего рода имеют такой вид:

Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:

(8)

где .

Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции или , называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:

(9)

или в виде суммы бесконечного числа членов

(10).

Здесь имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:

, , ,

n в сумме означает всякие целые полож. и отриц. числа от до .

При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:

(11)

, (12),

где означает производную от по .

Из функции Якоби составляет еще три функции следующим образом.

Если прибавить к величину , то к прибавится величина , а если прибавить к величину , то к прибавится . Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:

,

где .

В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:

,

,

,

где .

Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.

Если есть комплексная переменная (см. Мнимые величины): , то каждая из этих функций обратится в , где и будут функциями от и , т. е.:

, .

Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы и ординаты . Обе эти поверхности периодичны и имеют период параллельно оси абсцисс и другой период параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: , , , одинаковы.

Вейерштрасс (см.) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:

(13)

Нижний предел этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от ; эту функцию обозначим так: ; квадрат её производной по выразится так:

. (14).

Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:

,

где , , суть три корня уравнения третьей степени . Величины и называются инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение

называется дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е. , то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через больший, через средний и через меньший корень, причем положительная величина, — величина отрицательная. Сумма равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через , действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через . В этом случае, конечно, также .

Функция имеет два примитивные периода

и ,

причем , , а если положить , то .

Величины и выражаются так:

, .

Когда есть действительная величина, то точки 0, , находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.

Когда есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, , , образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.

Функция может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:

;

отсюда не трудно выразить в все три Э. функции.

Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению:

.

Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: «Fundamenta nova theorise functionum ellipticarum» (в 1-м томе «Jacobi’s gesammelte Werke», Б., 1881); Durège, «Theorie der elliptischen Functionen» (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, «Traité des fonctions elliptiques» (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, «Principes de la théorie des fonctions elliptiques» (П., 1897); Schwarz, «Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass»; Enneper, «Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte» (2-е изд., Галле, 1890).

Д. Б.