ЭСБЕ/Эллиптические интегралы и функции

Эллиптические интегралы и функции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Электровозбудительная сила — Эрготинъ. Источник: т. XLa (1904): Электровозбудительная сила — Эрготин, с. 657—660 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Эллиптические интегралы и функции. — Э. интегралами называются все квадратуры вида:

$\int f(x,{\sqrt {X}})dx,$

где $X$ есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от $x$; $f$ есть какая-либо рациональная функция от $x$ и ${\sqrt {X}}$. Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода.

Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:

$F(\varphi )=\int \limits _{0}^{\Phi }{\frac {d\varphi }{\Delta \varphi }}$

(1),

где $\Delta \varphi$ означает корень:

$\Delta \varphi ={\sqrt {1-k^{2}\operatorname {Sin} ^{2}\varphi }}$.

Значит $F$ есть функция от $\varphi$, верхнего предела $\varphi$, заключающая в себе еще постоянную величину $k$, называемую модулем.

Если положим $x=\operatorname {Sin} \varphi$, то интеграл $F(\varphi )$, который теперь обозначим через $u$, будет иметь вид:

$u=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}=F(\varphi )$

Так как $u$ есть функция от $\varphi$, то, обратно, $\varphi$ есть функция от $u$. Эту обратную функцию называют амплитудой от $u$ по модулю $k$. Ее обозначают так: $\varphi =\operatorname {am} (u,k)$ или просто $\varphi =\operatorname {am} u$. Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием $u$ функция $\operatorname {am} u$ возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда $\varphi$ достигает величин ${\tfrac {1}{2}}\pi$, $\pi$, ${\tfrac {3}{2}}\pi$, $2\pi$, ...., то и достигает величин $K,2K,3K,4K$..., где

$K=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\Delta \varphi }}$

(2),

Величины $~x=\operatorname {Sin} \varphi$, ${\sqrt {1-x^{2}}}=\operatorname {Cos} \varphi$ и $~\Delta \varphi$ суть Э. функции от $~u$; так как $~\varphi =\operatorname {am} u$, то:

$~x=\Pi (u,a)=A$; ${\sqrt {1-x^{2}}}=\operatorname {Cos} \operatorname {am} u$, ${\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}=\Delta \operatorname {am} u$;

эти функции от и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что:

$~d\varphi =d.\operatorname {am} u=du.\Delta \varphi =\Delta \operatorname {am} u.du$

(3).

Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:

$E(\varphi )=\int \limits _{0}^{\varphi }\Delta \varphi \,d\varphi$

(4),

а если, согласно предыдущему, ввести вместо $d\varphi$ выражение (3) его в $du$, то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:

$E(u)=\int \limits _{0}^{u}\Delta ^{2}\operatorname {am} u\,du$

(5),

При $~\varphi$ равном ${\tfrac {1}{2}}\pi$, когда $~u$ (по формуле (2)) обращается в $~K$, интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой $~E$:

$E=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\Delta \varphi \,d\varphi$

(6),

а по формуле (5):

$~E=E(K)$.

Дополнительным модулем назыв. величина $k'$, квадрат которой равен $(1-k^{2})$, так что $k^{2}+(k')^{2}=1$. Означим через $\Delta _{1}\varphi$ следующий корень:

$\Delta _{1}\varphi ={\sqrt {1-k^{2}\operatorname {Sin} ^{2}\varphi }}$

и составим следующие интегралы:

$K'=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\Delta _{1}\varphi }},E=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\Delta \varphi \,d\varphi ,$

Лежандр показал, что между четырьмя величинами $K$, $E$, $K'$ и $E$ существует следующая зависимость:

$KE'+K'E-KK'={\tfrac {1}{2}}\pi$

(7).

Интегралы третьего рода имеют такой вид:

$\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{(1-n\operatorname {Sin} ^{2}\varphi )\Delta \varphi }}$

Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:

$\Pi (u,a)=A\int \limits _{0}^{u}\operatorname {Sin} ^{2}\operatorname {am} u\,x{\frac {du}{(1-k^{2})\operatorname {Sin} ^{2}\operatorname {am} a\operatorname {Sin} ^{2}\operatorname {am} u}}$

(8),

где $A=k^{2}\operatorname {Sin} \operatorname {am} a\operatorname {Cos} \operatorname {am} a\Delta \operatorname {am} a$.

Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции $\Theta (u)$ или $\vartheta (x)$, называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:

$~\Theta (u)=1-2q\operatorname {Cos} 2x+2q^{4}\operatorname {Cos} 4x-2q^{9}\operatorname {Cos} 3x+2q^{16}\operatorname {Cos} 8x-...$

(9)

или в виде суммы бесконечного числа членов

$\Theta (u)=\vartheta (x)=\sum (-1)^{n}q^{n2}e^{2nxi}...$

(10).

Здесь $x$ имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:

$x={\frac {\pi u}{2K}}$, $q=e^{-\pi {\frac {K'}{K}}}$, $i={\sqrt {-1}}$,

$n$ в сумме $\textstyle {\sum }$ означает всякие целые полож. и отриц. числа от $-\infty$ до $+\infty$.

При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:

$E(u)=\left({\frac {E}{K}}\right)u+{\frac {\Theta '(u)}{\Theta (u)}}...$

(11)

$\Pi (u,a)=u{\frac {\Theta (a)}{\Theta '(a)}}+{\tfrac {1}{2}}\log {\frac {\Theta (u-a)}{\Theta (u+a)}}$

(12),

где $\Theta '(u)$ означает производную от $\Theta (u)$ по $u$.

Из функции $\vartheta (x)$ Якоби составляет еще три функции следующим образом.

Если прибавить к $u$ величину $K$, то к $x$ прибавится величина ${\tfrac {\pi }{2}}$, а если прибавить к $u$ величину $(-iK')$, то к $x$ прибавится ${\tfrac {1}{2}}i\log q$. Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:

$\vartheta _{1}(x)=is\vartheta \left(x+{\frac {1}{2}}i\log q\right)$ $\vartheta _{2}(x)=s\vartheta \left(x+{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2}}i\log q\right)$ $\vartheta _{3}(x)=\vartheta \left(x+{\frac {\pi }{3}}\right)$,

где $s=q^{\frac {1}{4}}e^{-x}$.

В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:

$\operatorname {Sin} \operatorname {am} u=\left({\sqrt {k}}\right)^{-1}{\frac {\vartheta _{1}(x)}{\vartheta (x)}}$, $\operatorname {Cos} \operatorname {am} u=\left({\sqrt {\frac {k'}{k}}}\right){\frac {\vartheta _{2}(x)}{\vartheta (x)}}$, $\Delta \operatorname {am} u={\sqrt {k'}}{\frac {\vartheta _{3}(x)}{\vartheta (x)}}$,

где $x={\frac {\pi u}{2K}}$.

Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.

Если $u$ есть комплексная переменная (см. Мнимые величины, XIX, 542): $u=x+yi$, то каждая из этих функций обратится в $X+Yi$, где $X$ и $Y$ будут функциями от $x$ и $y$, т. е.:

$~X=f_{1}(x,y)$, $~Y=f_{2}(x,y)$.

Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы $x$ и ординаты $y$. Обе эти поверхности периодичны и имеют период $2K$ параллельно оси абсцисс и другой период $2K'$ параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: $(x,y)$, $(x+2K,y)$, $(x,y+2K')$, $(x+2K,y+2K')$ одинаковы.

Вейерштрасс (VI, 488) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:

$\mathrm {u} =\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {4y^{3}-g_{2}y-g_{3}}}}$

(13).

Нижний предел $s$ этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от $\mathrm {u}$; эту функцию обозначим так:

$s=\mathrm {pu}$;

квадрат её производной по $\mathrm {u}$ выразится так:

$(\mathrm {p'u} )^{2}=\left({\frac {d\mathrm {pu} }{d\mathrm {u} }}\right)^{2}=4(\mathrm {pu} )^{3}-g_{2}\mathrm {pu} -g_{3}$

(14).

Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:

$~4[(\mathrm {pu} -e_{1})(\mathrm {pu} -e_{2})(\mathrm {pu} -e_{3})]$,

где $e_{1}$, $e_{2}$, $e_{3}$ суть три корня уравнения третьей степени $4y^{3}-g_{2}y-g_{3}=0$. Величины $g_{2}$ и $g_{3}$ называются инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение

$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{2}^{3}$

называется дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е. $\Delta >0$, то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через $e_{1}$ больший, через $e_{2}$ средний и через $e_{3}$ меньший корень, причем $e_{1}$ положительная величина, $e_{3}$ — величина отрицательная. Сумма $e_{1}+e_{2}+e_{3}$ равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через $e_{2}$, действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через $e_{1}$. В этом случае, конечно, также $e_{1}+e_{2}+e_{3}=0$.

Функция $\mathrm {pu}$ имеет два примитивные периода

$2\omega _{1}=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {4y^{3}-g_{2}y-g_{3}}}}={\frac {2K}{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}}$ и $2\omega _{3}={\frac {2K}{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}}$,

причем $\mathrm {p} \omega _{1}=e_{1}$, $\mathrm {p} \omega _{3}=e_{3}$, а если положить $\omega _{2}=\omega _{1}+\omega _{3}$, то $\mathrm {p} \omega _{2}=e_{2}$.

Величины $k^{2}$ и $k'^{2}$ выражаются так:

$k^{2}={\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}$, $(k')^{2}={\frac {e_{1}-e_{2}}{e_{1}-e_{3}}}$.

Когда $k^{2}$ есть действительная величина, то точки 0, $2\omega _{1}$, $2\omega _{3}$ находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.

Когда $k^{2}$ есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, $2\omega _{1}$, $2\omega _{3}$, образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины $k^{2}$ отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.

Функция $\mathrm {pu}$ может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:

$\mathrm {pu} ={\frac {e_{3}(e_{1}-e_{3})}{\operatorname {Sin} ^{2}\operatorname {am} \mathrm {u} {\sqrt {e_{1}-e_{2}}}}}$;

отсюда не трудно выразить в $\mathrm {pu}$ все три Э. функции.

Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию $\sigma \mathrm {u}$, удовлетворяющую дифференциальному уравнению:

$\mathrm {pu} =\left({\frac {d^{2}}{d\mathrm {u} ^{2}}}\right)\log(\sigma \mathrm {u} )$.

Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: «Fundamenta nova theoriæ functionum ellipticarum» (в 1-м томе «Jacobi’s gesammelte Werke», Б., 1881); Durège, «Theorie der elliptischen Functionen» (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, «Traité des fonctions elliptiques» (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, «Principes de la théorie des fonctions elliptiques» (П., 1897); Schwarz, «Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass»; Enneper, «Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte» (2-е изд., Галле, 1890). Д. Б.