Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/140

Замѣчаніе это относится къ избытку данныхъ, которыя прінимаетъ Де-Лагиръ при построеніи часовыхъ линій. Въ первомъ случаѣ онъ беретъ ихъ семь, во второмъ — четыре и еще равноденственную линію; въ третьемъ — три и кромѣ того равноденственную и горизонтальную линіи; къ этому надобно прибавить, что данныя линіи предполагаются послѣдовательными.

Но необходимы ли всѣ эти данныя? И каково наименьшее число часовыхъ ліній, достаточныхъ для построенія всѣхъ другихъ?

Отвѣчаемъ на это, что трехъ какихъ нибудь часовыхъ линій достаточно, чтобы опредѣлить всѣ остальныя, и построеніе можетъ быть сдѣлано также просто, какъ было сдѣлано Де-Лагиромъ въ случаѣ семи послѣдовательныхъ данныхъ часовыхъ линій.

Построеніе это представляетъ новое приложеніе теоріи ангармоническаго отношенія, на которую мы уже во многихъ мѣстахъ этого сочиненія старались обратить вниманіе геометровъ.

Означимъ черезъ $a,b,c$ три данныя линіи, соотвѣтствующія какимъ нибудь опредѣленнымъ часамъ, или даже, если угодно, долямъ часа. Пусть $d$ будетъ какая нибудь изъ часовыхъ линій, которую мы желаемъ построить при помощи трехъ первыхъ. Ангармоническое отношеніе этихъ четырехъ прямыхъ равно ангармоническому отношенію четырехъ часовыхъ плоскостей, имѣющихъ эти прямыя слѣдами на плоскости солнечныхъ часовъ. Означая четыре плоскости эти черезъ $A,B,C,D$, получимъ:

${\frac {\sin c,a}{\sin c,b}}:{\frac {\sin d,a}{\sin d,b}}={\frac {\sin C,A}{\sin C,B}}:{\frac {\sin D,A}{\sin D,B}}$.

Углы между четырьмя плоскостями $A,B,C,D$ извѣстны, такъ какъ эти плоскости соотвѣтствуютъ четыремъ даннымъ часамъ; поэтому вторая часть уравненія есть извѣстное количество $n$.

Отсюда уже видно, что уравненіе наше можетъ служитъ для опредѣленія направленія линіи $d$, и слѣдовательно, для рѣшенія вопроса.

Чтобы вывести отсюда простое построеніе, проведемъ произвольную сѣкущую, которая встрѣтится съ тремя линіями $a,b,c$ въ точкахъ $\alpha ,\beta ,\gamma$, и означимъ черезъ $\delta$ точку пересѣченія ея съ искомою линіею d. Ангармоническое отношеніе для четырехъ точекъ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ будетъ такое же, какъ и для четырехъ прямыхъ $a,b,c,d$; вслѣдствіе этого предыдущее уравненіе обратится въ

${\frac {\gamma \alpha }{\gamma \beta }}:{\frac {\delta \alpha }{\delta \beta }}=n$, откуда ${\frac {\delta \alpha }{\delta \beta }}={\frac {1}{n}}{\frac {\gamma \alpha }{\gamma \beta }}$.

Тот же текст в современной орфографии

Замечание это относится к избытку данных, которые принимает Де-Лагир при построении часовых линий. В первом случае он берет их семь, во втором — четыре и еще равноденственную линию; в третьем — три и кроме того равноденственную и горизонтальную линии; к этому надобно прибавить, что данные линии предполагаются последовательными.

Но необходимы ли все эти данные? И каково наименьшее число часовых линий, достаточных для построения всех других?

Отвечаем на это, что трех каких нибудь часовых линий достаточно, чтобы определить все остальные, и построение может быть сделано также просто, как было сделано Де-Лагиром в случае семи последовательных данных часовых линий.

Построение это представляет новое приложение теории ангармонического отношения, на которую мы уже во многих местах этого сочинения старались обратить внимание геометров.

Означим через $a,b,c$ три данные линии, соответствующие каким-нибудь определенным часам, или даже, если угодно, долям часа. Пусть $d$ будет какая нибудь из часовых линий, которую мы желаем построить при помощи трех первых. Ангармоническое отношение этих четырех прямых равно ангармоническому отношению четырех часовых плоскостей, имеющих эти прямые следами на плоскости солнечных часов. Означая четыре плоскости эти через $A,B,C,D$, получим:

${\frac {\sin c,a}{\sin c,b}}:{\frac {\sin d,a}{\sin d,b}}={\frac {\sin C,A}{\sin C,B}}:{\frac {\sin D,A}{\sin D,B}}$.

Углы между четырьмя плоскостями $A,B,C,D$ известны, так как эти плоскости соответствуют четырем данным часам; поэтому вторая часть уравнения есть известное количество $n$.

Отсюда уже видно, что уравнение наше может служит для определения направления линии $d$, и следовательно, для решения вопроса.

Чтобы вывести отсюда простое построение, проведем произвольную секущую, которая встретится с тремя линиями $a,b,c$ в точках $\alpha ,\beta ,\gamma$, и означим через $\delta$ точку пересечения её с искомою линиею d. Ангармоническое отношение для четырех точек $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ будет такое же, как и для четырех прямых $a,b,c,d$; вследствие этого предыдущее уравнение обратится в

${\frac {\gamma \alpha }{\gamma \beta }}:{\frac {\delta \alpha }{\delta \beta }}=n$, откуда ${\frac {\delta \alpha }{\delta \beta }}={\frac {1}{n}}{\frac {\gamma \alpha }{\gamma \beta }}$.