Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/142

Эта страница была вычитана

только для того, чтобы получить ихъ, вывести нѣкоторыя основныя свойства (изъ которыхъ самое важное есть постоянное отношеніе между квадратомъ ординаты и произведеніемъ отрѣзковъ на оси^[1]) и потомъ пользоваться ими для изысканія и доказательства всѣхъ другихъ свойствъ: древніе составляли такимъ образомъ свою теорію коническихъ сѣченій, не зная ни одного свойства конуса и совершенно независимо отъ свойствъ круга, служащаго конусу основаніемъ; Аполлоній доказываетъ даже часто свойства круга въ одно время съ свойствами эллипса и одинаковымъ образомъ. Де-Лагиръ избралъ путь болѣе раціональный и методическій, и поэтому болѣе краткій и ясный. Онъ началъ съ установленія свойствъ круга, которыя должны представляться и въ коническихъ сѣченіяхъ, преимущественно свойствъ, относящихся къ гармоническому дѣленію; потомъ, пользуясь ими,

↑ На вопросъ, отчего зависитъ плодотворность этого свойства коническихъ сѣченій, въ аналитической геометріи отвѣтили бы, что свойство это есть ничто иное, какъ уравненіе кривой, и неудивительно поэтому, что къ нему примѣняются удобно всѣ преобразованія, какимъ можно подвергнуть уравненіе. Но чистая геометрія требуетъ болѣе прямой причины, заимствованной только изъ свойствъ самаго предмета и не носящей отпечатка произвольной и искуственной системы координатъ; и легко видѣть, что причина заключается въ томъ, что свойство это выражаетъ соотношеніе между шестью точками коническаго сѣченія. Здѣсь впрочемъ шесть точекъ не имѣютъ положенія совершенно произвольнаго и общаго: четыре изъ нихъ берутся на двухъ параллельныхъ прямыхъ.
Но, не смотря на это ограниченіе, упомянутое соотношеніе достаточно для построенія кривой при помощи пяти произвольно данныхъ точекъ. Отсюда понятно, что оно можетъ вести ко всѣмъ свойствамъ коническихъ сѣченій. При этомъ пришлось бы только слѣдовать иногда не совершенно прямому пути и употреблять болѣе искуственныхъ оборотовъ, чѣмъ въ томъ случаѣ, когда бы намъ было извѣстно совершенно общее соотношеніе между шестью какими нибудь точками коническаго сѣченія. Этимъ замѣчаніемъ объясняется, почему прекрасныя теоремы Дезарга и Паскаля, выражающія собою именно совершенно общее соотношеніе между шестью точками коническаго сѣченія, внесли въ теорію этихъ кривыхъ такую неизвѣстную древнимъ простоту.

Тот же текст в современной орфографии

только для того, чтобы получить их, вывести некоторые основные свойства (из которых самое важное есть постоянное отношение между квадратом ординаты и произведением отрезков на оси^[1]) и потом пользоваться ими для изыскания и доказательства всех других свойств: древние составляли таким образом свою теорию конических сечений, не зная ни одного свойства конуса и совершенно независимо от свойств круга, служащего конусу основанием; Аполлоний доказывает даже часто свойства круга в одно время с свойствами эллипса и одинаковым образом. Де-Лагир избрал путь более рациональный и методический, и поэтому более краткий и ясный. Он начал с установления свойств круга, которые должны представляться и в конических сечениях, преимущественно свойств, относящихся к гармоническому делению; потом, пользуясь ими,

↑ На вопрос, отчего зависит плодотворность этого свойства конических сечений, в аналитической геометрии ответили бы, что свойство это есть ничто иное, как уравнение кривой, и неудивительно поэтому, что к нему применяются удобно все преобразования, каким можно подвергнуть уравнение. Но чистая геометрия требует более прямой причины, заимствованной только из свойств самого предмета и не носящей отпечатка произвольной и искусственной системы координат; и легко видеть, что причина заключается в том, что свойство это выражает соотношение между шестью точками конического сечения. Здесь впрочем шесть точек не имеют положения совершенно произвольного и общего: четыре из них берутся на двух параллельных прямых.
Но, не смотря на это ограничение, упомянутое соотношение достаточно для построения кривой при помощи пяти произвольно данных точек. Отсюда понятно, что оно может вести ко всем свойствам конических сечений. При этом пришлось бы только следовать иногда не совершенно прямому пути и употреблять более искусственных оборотов, чем в том случае, когда бы нам было известно совершенно общее соотношение между шестью какими нибудь точками конического сечения. Этим замечанием объясняется, почему прекрасные теоремы Дезарга и Паскаля, выражающие собою именно совершенно общее соотношение между шестью точками конического сечения, внесли в теорию этих кривых такую неизвестную древним простоту.

[1] На вопросъ, отчего зависитъ плодотворность этого свойства коническихъ сѣченій, въ аналитической геометріи отвѣтили бы, что свойство это есть ничто иное, какъ уравненіе кривой, и неудивительно поэтому, что къ нему примѣняются удобно всѣ преобразованія, какимъ можно подвергнуть уравненіе. Но чистая геометрія требуетъ болѣе прямой причины, заимствованной только изъ свойствъ самаго предмета и не носящей отпечатка произвольной и искуственной системы координатъ; и легко видѣть, что причина заключается въ томъ, что свойство это выражаетъ соотношеніе между шестью точками коническаго сѣченія. Здѣсь впрочемъ шесть точекъ не имѣютъ положенія совершенно произвольнаго и общаго: четыре изъ нихъ берутся на двухъ параллельныхъ прямыхъ.
Но, не смотря на это ограниченіе, упомянутое соотношеніе достаточно для построенія кривой при помощи пяти произвольно данныхъ точекъ. Отсюда понятно, что оно можетъ вести ко всѣмъ свойствамъ коническихъ сѣченій. При этомъ пришлось бы только слѣдовать иногда не совершенно прямому пути и употреблять болѣе искуственныхъ оборотовъ, чѣмъ въ томъ случаѣ, когда бы намъ было извѣстно совершенно общее соотношеніе между шестью какими нибудь точками коническаго сѣченія. Этимъ замѣчаніемъ объясняется, почему прекрасныя теоремы Дезарга и Паскаля, выражающія собою именно совершенно общее соотношеніе между шестью точками коническаго сѣченія, внесли въ теорію этихъ кривыхъ такую неизвѣстную древнимъ простоту.

[2] На вопрос, отчего зависит плодотворность этого свойства конических сечений, в аналитической геометрии ответили бы, что свойство это есть ничто иное, как уравнение кривой, и неудивительно поэтому, что к нему применяются удобно все преобразования, каким можно подвергнуть уравнение. Но чистая геометрия требует более прямой причины, заимствованной только из свойств самого предмета и не носящей отпечатка произвольной и искусственной системы координат; и легко видеть, что причина заключается в том, что свойство это выражает соотношение между шестью точками конического сечения. Здесь впрочем шесть точек не имеют положения совершенно произвольного и общего: четыре из них берутся на двух параллельных прямых.
Но, не смотря на это ограничение, упомянутое соотношение достаточно для построения кривой при помощи пяти произвольно данных точек. Отсюда понятно, что оно может вести ко всем свойствам конических сечений. При этом пришлось бы только следовать иногда не совершенно прямому пути и употреблять более искусственных оборотов, чем в том случае, когда бы нам было известно совершенно общее соотношение между шестью какими нибудь точками конического сечения. Этим замечанием объясняется, почему прекрасные теоремы Дезарга и Паскаля, выражающие собою именно совершенно общее соотношение между шестью точками конического сечения, внесли в теорию этих кривых такую неизвестную древним простоту.

[1]

[1]