сторонами и двумя діагоналями четыреугольника. Теоремы 127-я и 128-я суть частные случаи 130-й.
Чертежъ въ сочиненіи Паппа, представляющій четыре стороны и двѣ діагонали четыреугольника, пересѣченныя трансверсалью, можно также разсматривать, какъ три стороны треугольника, къ вершинамъ котораго изъ одной точки проведены три другія прямыя. Эти шесть прямыхъ образуютъ на трансверсали шесть отрѣзковъ, изъ которыхъ каждый заключается между стороною треугольника и одною изъ линій, проведенныхъ черезъ вершины, лежащія на этой сторонѣ. При такомъ толкованіи теорему Паппа легко выразить словами и удержать въ памяти: она заключается въ томъ, что произведеніе трехъ отрѣзковъ, не имѣющихъ общихъ конечныхъ точекъ, равно произведенію трехъ остальныхъ; это соотношеніе сходно съ тѣмъ, которое составляетъ Птоломееву теорему. Разсматриваемая съ этой точки зрѣнія, теорема Паппа можетъ быть употребляема для доказательства, что три линіи, извѣстнымъ образомъ проведенныя черезъ вершины треугольника, проходятъ черезъ одну и ту же точку; подобно тому, какъ употребляется Птоломеева теорема для доказательства, что три точки, расположенныя извѣстнымъ образомъ на сторонахъ треугольника, лежатъ на одной прямой.
Теорема 131-я показываетъ, что въ каждомъ четыреугольникѣ діагопаль дѣлится гармонически другою діагональю и линіею, соединяющею точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ.
Въ предложеніи 132-мъ разсматривается особый случай этой теоремы, которая сама есть опять слѣдствіе общей 130-й теоремы. Теоремы 134, 138, 141 и 143 суть или обратныя предложенія, или частные случаи теоремы 139-й, въ которой доказывается, что если шесть вершинъ шестиугольника лежатъ по три на двухъ прямыхъ линіяхъ, то точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ лежатъ на одной прямой. Это предложеніе замѣчательно не только само по себѣ, но и потому, что на него можно смотрѣть, какъ на первый шагъ къ знаменитой теоремѣ Паскаля о шестиугольникѣ, вписанномъ въ коническое сѣченіе. Вмѣсто системы двухъ прямыхъ, въ которую Паппъ вписываетъ шестиугольникъ, въ теоремѣ
