Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/92

Эта страница была вычитана

и внесли въ него нѣкоторыя упрощенія. Мнѣ неизвѣстно, было ли кѣмъ нибудь предложено чисто геометрическое и графическое рѣшеніе этого вопроса. Вся трудность исчезаетъ передъ новѣйшими геометрическими пріемами, при помощи которыхъ можно получить нѣсколько различныхъ рѣшеній^[1].

Прибавленіе. Мы сказали, что предложенный Дезаргомъ вопросъ о пересѣченіи по кругу конуса съ эллиптическимъ, гиперболическимъ, или параболическимъ основаніемъ былъ рѣшенъ Декартомъ на основаніи началъ аналитической геометріи. Мы должны были прибавить, что Дезаргъ также рѣшилъ эту задачу посредствомъ

↑ Достаточно опредѣлить три главныя оси конуса, потомучто, зная ихъ, непосредственно получаемъ положеніе круговыхъ сѣченій.
Для опредѣленія главныхъ осей провожу черезъ большую ось коническаго сѣченія $C$ , служащаго основаніемъ конусу, плоскость перпендикулярную къ плоскости основанія и въ этой плоскости воображаю себѣ другое коническое сѣченіе, имѣющее вершинами и фокусами вершины и фокусы перваго.
Это второе коническое сѣченіе я разсматриваю, какъ основаніе другаго конуса, имѣющаго съ даннымъ одну и ту же вершину. Новый конусъ встрѣтитъ плоскость кривой $C$ по другому коническому сѣченію; оно пересѣчется съ $C$ въ четырехъ точкахъ; въ четыреугольникѣ, составленномъ этими точками, двѣ точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ и точка пересѣченія діагоналей будутъ три точки, принадлежащія тремъ искомымъ осямъ.
Задача такимъ образомъ рѣшена.
Второе рѣшеніе. Черезъ вершину даннаго конуса проводимъ прямыя, перпендикулярныя къ касательнымъ плоскостямъ; эти прямыя образуютъ другой конусъ втораго порядка, который встрѣчается съ плоскостью коническаго сѣченія, служащаго основаніемъ первому конусу, по другому коническому сѣченію. Эти двѣ кривыя пересѣкаются въ четырехъ точкахъ, служащихъ, какъ въ предыдущемъ случаѣ, къ рѣшенію задачи.
Мы должны прибавить, что въ плоскости двухъ коническихъ сѣченій вообще существуютъ три точки, изъ которыхъ каждая имѣетъ одну и туже поляру относительно обѣихъ кривыхъ; эти то три точки и привадлежатъ тремъ искомымъ главнымъ осямъ.
Мы нашли еще нѣсколько другихъ рѣшеній; но всѣ они требуютъ построенія коническаго сѣченія; это такъ и должно быть, потомучто задача допускаетъ три рѣшенія.

[1] Достаточно опредѣлить три главныя оси конуса, потомучто, зная ихъ, непосредственно получаемъ положеніе круговыхъ сѣченій.
Для опредѣленія главныхъ осей провожу черезъ большую ось коническаго сѣченія $C$ , служащаго основаніемъ конусу, плоскость перпендикулярную къ плоскости основанія и въ этой плоскости воображаю себѣ другое коническое сѣченіе, имѣющее вершинами и фокусами вершины и фокусы перваго.
Это второе коническое сѣченіе я разсматриваю, какъ основаніе другаго конуса, имѣющаго съ даннымъ одну и ту же вершину. Новый конусъ встрѣтитъ плоскость кривой $C$ по другому коническому сѣченію; оно пересѣчется съ $C$ въ четырехъ точкахъ; въ четыреугольникѣ, составленномъ этими точками, двѣ точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ и точка пересѣченія діагоналей будутъ три точки, принадлежащія тремъ искомымъ осямъ.
Задача такимъ образомъ рѣшена.
Второе рѣшеніе. Черезъ вершину даннаго конуса проводимъ прямыя, перпендикулярныя къ касательнымъ плоскостямъ; эти прямыя образуютъ другой конусъ втораго порядка, который встрѣчается съ плоскостью коническаго сѣченія, служащаго основаніемъ первому конусу, по другому коническому сѣченію. Эти двѣ кривыя пересѣкаются въ четырехъ точкахъ, служащихъ, какъ въ предыдущемъ случаѣ, къ рѣшенію задачи.
Мы должны прибавить, что въ плоскости двухъ коническихъ сѣченій вообще существуютъ три точки, изъ которыхъ каждая имѣетъ одну и туже поляру относительно обѣихъ кривыхъ; эти то три точки и привадлежатъ тремъ искомымъ главнымъ осямъ.
Мы нашли еще нѣсколько другихъ рѣшеній; но всѣ они требуютъ построенія коническаго сѣченія; это такъ и должно быть, потомучто задача допускаетъ три рѣшенія.

[1]