группахъ четырехъ точекъ и нетрудно замѣтить, что каждое изъ уравненій (А) также выражаетъ равенство ангармоническихъ отношеній для двухъ группъ. Отсюда заключаемъ, что если шесть точекъ и , и , и находятся въ инволюціи, то четыре какія нибудь изъ нихъ, принадлежащія къ тремъ парамъ, имѣютъ ангармоническое отношеніе одинаковое съ соотвѣтствующими имъ точками.
35. Мы говоримъ, что три изъ четырехъ первыхъ точекъ должны принадлежать тремъ парамъ, потому что иначе двѣ изъ шести точекъ не вошли бы въ уравненіе, выражающее равенство ангармоническихъ отношеній. Такъ напримѣръ, если бы первыя четыре точки были , то соотвѣтствующія имъ точки были бы ; и, сравнивая ангармоническія отношенія тѣхъ и другихъ четырехъ точекъ, мы не получили бы соотношенія между шестью данными точками, такъ какъ въ него не вошли бы точки и . Но полученное уравненіе было бы тождественно. Поэтому мы можемь изложить теорему въ слѣдующемъ общемъ видѣ:
Когда шесть точекъ, попарно соотвѣтствующихъ другъ другу, находятся въ инволюціи, то ангармоническое отношеніе какихъ нибудь четырехъ изъ нихъ равно ангармоническому отношенію четырехъ имъ соотвѣтствующихъ точекъ.
Эта теорема, какъ намъ кажется, выражаетъ самое богатое слѣдствіями свойство въ теоріи инволюціи шести точекъ; она естественнымъ образомъ ведетъ къ различнымъ выраженіямъ инволюціи, которыя до сихъ поръ не были замѣчены.
Перейдемъ къ изложенію ихъ.
36. Въ предыдущемъ Примѣчаніи мы видѣли, что равенство ангармоническихъ отношеній двухъ системъ четырехъ точекъ можетъ быть тремя способами выражено посредствомъ трехчленнаго уравненія; поэтому условіе инволюціи шести точекъ можетъ быть выражено трехчленнымъ уравненіемъ въ двѣнадцати различныхъ видахъ. Четыре изъ этихъ двѣнадцати уравненій содержатъ отрѣзокъ между двумя соотвѣтственными точками, четыре содержатъ отрѣзокъ , наконецъ четыре — отрѣзокъ .
