Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/61

корни уравненій (1) и (20) выражены нами, какъ явныя функціи корней уравненія (95).

Вслѣдствіе этого мы съ особенною полнотою будемъ изучать свойства и способы рѣшенія уравненій (95). Ниже мы увидимъ, что корни всѣхъ уравненій, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ, выражаются, какъ явныя функціи корней уравненій вида (95).

§ 4. Случаи, когда дифференціальное уравненіе имѣетъ первичную форму второй стенени.

Пусть дифференціальное уравненіе (21) имѣетъ первичную форму 2-ой степени:

$(\alpha \eta '+\beta \eta '')(\gamma \eta '+\delta \eta '').$

(108)

‎Положивъ:

$\alpha \eta '+\beta \eta ''=\eta _{1},$ $\gamma \eta '+\delta \eta ''=\eta _{2},$

(109)

‎мы приведемъ первичную форму (108) къ виду:

$f(\eta _{1},\ \eta _{2})=\eta _{1}\eta _{2}.$

(110)

‎Функціи $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ суть частные интегралы дифференціальнаго уравненія (21) и корни алгебраическаго уравненія (20) степени $n$.

Индексъ первичной формы (110) равенъ:

$\nu ={\frac {n}{2}}.$

‎Слѣдовательно, степень $n$ четная.

Положивъ:

$n=2m,$

‎мы находимъ, что индексъ первичной формы 2-ой степени (110) равенъ $m$.

Изъ свойствъ первичной формы слѣдуетъ, что

Тот же текст в современной орфографии

корни уравнений (1) и (20) выражены нами как явные функции корней уравнения (95).

Вследствие этого мы с особенной полнотой будем изучать свойства и способы решения уравнений (95). Ниже мы увидим, что корни всех уравнений, разрешимых в гипергеометрических функциях, выражаются как явные функции корней уравнений вида (95).

§ 4. Случаи, когда дифференциальное уравнение имеет первичную форму второй стенени.

Пусть дифференциальное уравнение (21) имеет первичную форму 2-ой степени:

$(\alpha \eta '+\beta \eta '')(\gamma \eta '+\delta \eta '').$

(108)

‎Положив:

$\alpha \eta '+\beta \eta ''=\eta _{1},$ $\gamma \eta '+\delta \eta ''=\eta _{2},$

(109)

‎мы приведем первичную форму (108) к виду:

$f(\eta _{1},\ \eta _{2})=\eta _{1}\eta _{2}.$

(110)

‎Функции $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ суть частные интегралы дифференциального уравнения (21) и корни алгебраического уравнения (20) степени $n$.

Индекс первичной формы (110) равен:

$\nu ={\frac {n}{2}}.$

‎Следовательно, степень $n$ четная.

Положив:

$n=2m,$

‎мы находим, что индекс первичной формы 2-ой степени (110) равен $m$.

Из свойств первичной формы следует, что