Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/62

$(\eta _{1}\eta _{2})^{m}={\mathfrak {R}}(z),$

(111)

‎гдѣ ${\mathfrak {R}}(z)$ раціональная функція $z$.

На основаніи вида уравненія (36) мы можемъ сказать, что то алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяютъ частные интегралы $\eta _{1},\ \eta _{2}$ должно быть таково:

$A_{0}\eta ^{2m}+A_{m}\eta ^{m}+A_{2m}=0,$

(112)

‎гдѣ $A_{0},\ A_{m},\ A_{2m}$ суть раціональныя функціи $z$.

Всѣ корни этого уравненія могутъ быть расположены въ слѣдующей таблицѣ:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{m-1}\eta _{1},\\\eta _{2},\ j\eta _{2},\ j^{2}\eta _{2},\ \ldots ,\ j^{m-1}\eta _{2},\end{matrix}}\right\}$

(113)

‎гдѣ $j$ есть первообразный корень степени $m$ изъ 1.

Произведеніе всѣхъ корней уравненія (112) равно:

${\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

‎Слѣдовательно

$(\eta _{1}\eta _{2})^{m}={\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

(114)

‎Изъ равенствъ (111) и (114) находимъ:

${\mathfrak {R}}(z)={\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

(115)

‎Это равенство опредѣляетъ функцію ${\mathfrak {R}}(z)$.

Корни уравненія (112) опредѣляются формулой:

$\eta ={\sqrt[{m}]{\frac {-A_{m}+{\sqrt {A_{m}^{2}-4A_{0}A_{2m}}}}{2A_{0}}}},$

(116)

‎гдѣ радикалы должны послѣдовательно получать всѣ свои значенія.

Тот же текст в современной орфографии

$(\eta _{1}\eta _{2})^{m}={\mathfrak {R}}(z),$

(111)

‎где ${\mathfrak {R}}(z)$ рациональная функция $z$.

На основании вида уравнения (36) мы можем сказать, что то алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют частные интегралы $\eta _{1},\ \eta _{2}$ должно быть таково:

$A_{0}\eta ^{2m}+A_{m}\eta ^{m}+A_{2m}=0,$

(112)

‎где $A_{0},\ A_{m},\ A_{2m}$ суть рациональные функции $z$.

Все корни этого уравнения могут быть расположены в следующей таблице:

$\left.{\begin{matrix}\eta _{1},\ j\eta _{1},\ j^{2}\eta _{1},\ \ldots ,\ j^{m-1}\eta _{1},\\\eta _{2},\ j\eta _{2},\ j^{2}\eta _{2},\ \ldots ,\ j^{m-1}\eta _{2},\end{matrix}}\right\}$

(113)

‎где $j$ есть первообразный корень степени $m$ из 1.

Произведение всех корней уравнения (112) равно:

${\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

‎Следовательно

$(\eta _{1}\eta _{2})^{m}={\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

(114)

‎Из равенств (111) и (114) находим:

${\mathfrak {R}}(z)={\frac {A_{2m}}{A_{0}}}.$

(115)

‎Это равенство определяет функцию ${\mathfrak {R}}(z)$.

Корни уравнения (112) определяются формулой:

$\eta ={\sqrt[{m}]{\frac {-A_{m}+{\sqrt {A_{m}^{2}-4A_{0}A_{2m}}}}{2A_{0}}}},$

(116)

‎где радикалы должны последовательно получать все свои значения.