Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/63

Эта страница не была вычитана

Итакъ, случай существованія первичной формы 2-ой степени по характеру своему совершенно элементарный^[1].

Ради полноты изложенія составимъ то алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяютъ отношенія корней уравненія (112).

Положивъ:

{\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}=u,

‎мы легко находимъ, что $u$ есть корень уравненія:

${\frac {\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}}{u^{m}}}=R(z),$

(117)

‎гдѣ

$R(z)={\frac {A_{m}^{2}}{4A_{0}A_{2m}}}.$

(118)

↑ Не лишено интереса такое замѣчаніе: всякое кубичное уравненіе вида:

$y^{3}+py+q=0$

(a)

имѣетъ корнями частные интегралы нѣкотораго линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка. Оба радикала Кардановой формулы:

$\eta _{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$ и $\eta _{2}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$

(b)

суть частные интегралы того же дифференціальнаго уравненія, и въ то же время они суть корни уравненія 6-ой степени:

$\eta ^{6}+q\eta ^{3}+{\frac {p^{3}}{27}}=0.$

(c)

Произведеніе

\eta _{1}\eta _{2}

есть первичная форма второй степени индекса 3:

$\eta _{1}\eta _{2}={\sqrt[{3}]{\frac {p^{3}}{27}}}={\frac {p}{3}}.$

(d)

Тот же текст в современной орфографии

Итак, случай существования первичной формы 2-ой степени по характеру своему совершенно элементарный^[1].

Ради полноты изложения составим то алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют отношения корней уравнения (112).

Положив:

{\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}=u,

‎мы легко находим, что $u$ есть корень уравнения:

${\frac {\left({\dfrac {u^{m}+1}{2}}\right)^{2}}{u^{m}}}=R(z),$

(117)

‎где

$R(z)={\frac {A_{m}^{2}}{4A_{0}A_{2m}}}.$

(118)

↑ Не лишено интереса такое замечание: всякое кубическое уравнение вида:

$y^{3}+py+q=0$

(a)

имеет корнями частные интегралы некоторого линейного дифференциального уравнения второго порядка. Оба радикала Кардановой формулы:

$\eta _{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$ и $\eta _{2}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$

(b)

суть частные интегралы того же дифференциального уравнения, и в то же время они суть корни уравнения 6-ой степени:

$\eta ^{6}+q\eta ^{3}+{\frac {p^{3}}{27}}=0.$

(c)

Произведение

\eta _{1}\eta _{2}

есть первичная форма второй степени индекса 3:

$\eta _{1}\eta _{2}={\sqrt[{3}]{\frac {p^{3}}{27}}}={\frac {p}{3}}.$

(d)

[1] Не лишено интереса такое замѣчаніе: всякое кубичное уравненіе вида:

$y^{3}+py+q=0$
(a)

имѣетъ корнями частные интегралы нѣкотораго линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка. Оба радикала Кардановой формулы:

$\eta _{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$ и $\eta _{2}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$
(b)

суть частные интегралы того же дифференціальнаго уравненія, и въ то же время они суть корни уравненія 6-ой степени:

$\eta ^{6}+q\eta ^{3}+{\frac {p^{3}}{27}}=0.$
(c)

Произведеніе $\eta _{1}\eta _{2}$
есть первичная форма второй степени индекса 3:

$\eta _{1}\eta _{2}={\sqrt[{3}]{\frac {p^{3}}{27}}}={\frac {p}{3}}.$
(d)

[2] Не лишено интереса такое замечание: всякое кубическое уравнение вида:

$y^{3}+py+q=0$
(a)

имеет корнями частные интегралы некоторого линейного дифференциального уравнения второго порядка. Оба радикала Кардановой формулы:

$\eta _{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$ и $\eta _{2}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$
(b)

суть частные интегралы того же дифференциального уравнения, и в то же время они суть корни уравнения 6-ой степени:

$\eta ^{6}+q\eta ^{3}+{\frac {p^{3}}{27}}=0.$
(c)

Произведение $\eta _{1}\eta _{2}$
есть первичная форма второй степени индекса 3:

$\eta _{1}\eta _{2}={\sqrt[{3}]{\frac {p^{3}}{27}}}={\frac {p}{3}}.$
(d)

[1]

[1]