Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/26

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


число n, то въ немъ содержится также число n+1. Эти числа n мы будемъ называть натуральными числами.

5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если n есть натуральное число, то оно отлично отъ числа n+1. Въ самомъ дѣлѣ, комплексъ E всѣхъ конечныхъ чиселъ, согласно пункту 3, удовлетворяетъ условiямъ α) и β) [1]. Слѣдовательно, E представляетъ собой одинъ изъ комплексовъ Z; поэтому N входитъ въ составъ комплекса E, т. е. каждое число комплекса N конечно.

Справедливо ли также обратное предложенiе, т. е. фигурируетъ-ли каждое конечное число въ натуральномъ рядѣ, — это вопросъ, рѣшенiе котораго мы вынуждены еще отложить.

При помощи натуральнаго ряда чиселъ мы выдѣлимъ частные числовые комплексы слѣдующимъ образомъ:

6. Пусть a будетъ натуральное число; мы будемъ обозначать символомъ Z_a числовой комплексъ, удовлетворяющiй слѣдующимъ двумъ требованiямъ:

α') Число a+1 входитъ въ составъ комплекса Z_a.

β') Если въ составъ комплекса Z_a входитъ число z, то въ его составъ входитъ также число z+1.

Этимъ требованiямъ удовлетворяетъ самый натуральный рядъ N; но имъ удовлетворяютъ и другiе числовые комплексы; каждый такой комплексъ, какъ сказано, мы будемъ обозначать символомъ Z_a. Теперь мы опредѣлимъ комплексъ N_a, какъ пересеченiе всѣхъ комплексовъ Z_a. Въ такомъ случаѣ комплексъ N_a содержится въ каждомъ комплексѣ Z_a.

Согласно этому, комплексъ Z_{a+1} опредѣляется слѣдующими свойствами:

α'') Число a+2 фигурируетъ въ комплексѣ Z_{a+1}.

β'') Если число z содержится въ комплексѣ Z_{a+1}, то въ немъ содержится также и число z+1.

(Для краткости мы здѣсь пишемъ a+2 вместо [(a+1)+1].)

Отсюда слѣдуетъ, что каждый комплексъ Z_a представляетъ собой также комплексъ Z_{a+1}. Если-же комплексъ Z_{a+1} содержитъ число a+1, то онъ представляетъ собой въ то же время комплексъ Z_a; но если комплексъ Z_{a+1} числа a+1 не содержитъ, то къ нему достаточно присоединить число a+1, чтобы получить комплексъ Z_a. Въ обозначенiяхъ



Тот же текст в современной орфографии


число n, то в нём содержится также число n+1. Эти числа n мы будем называть натуральными числами.

5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если n есть натуральное число, то оно отлично от числа n+1. В самом деле, комплекс E всех конечных чисел, согласно пункту 3, удовлетворяет условиям α) и β) [2]. Следовательно, E представляет собой один из комплексов Z; поэтому N входит в состав комплекса E, т. е. каждое число комплекса N конечно.

Справедливо ли также обратное предложение, т. е. фигурирует ли каждое конечное число в натуральном ряде, — это вопрос, решение которого мы вынуждены ещё отложить.

При помощи натурального ряда чисел мы выделим частные числовые комплексы следующим образом:

6. Пусть a будет натуральное число; мы будем обозначать символом Z_a числовой комплекс, удовлетворяющий следующим двум требованиям:

α') Число a+1 входит в состав комплекса Z_a.

β') Если в состав комплекса Z_a входит число z, то в его состав входит также число z+1.

Этим требованиям удовлетворяет самый натуральный ряд N; но им удовлетворяют и другие числовые комплексы; каждый такой комплекс, как сказано, мы будем обозначать символом Z_a. Теперь мы определим комплекс N_a, как пересечение всех комплексов Z_a. В таком случае комплекс N_a содержится в каждом комплексе Z_a.

Согласно этому, комплекс Z_{a+1} определяется следующими свойствами:

α'') Число a+2 фигурирует в комплексе Z_{a+1}.

β'') Если число z содержится в комплексе Z_{a+1}, то в нём содержится также и число z+1.

(Для краткости мы здесь пишем a+2 вместо [(a+1)+1].)

Отсюда следует, что каждый комплекс Z_a представляет собой также комплекс Z_{a+1}. Если же комплекс Z_{a+1} содержит число a+1, то он представляет собой в то же время комплекс Z_a; но если комплекс Z_{a+1} числа a+1 не содержит, то к нему достаточно присоединить число a+1, чтобы получить комплекс Z_a. В обозначениях

  1. Дѣйствительно, 1, какъ конечное число, фигурируетъ въ комплексѣ E; кромѣ того, если \ell есть конечное число, то и \ell+1 есть конечное число, т. е. если \ell фигурируетъ въ комплексѣ E, то въ немъ фигурируетъ также число \ell+1.
  2. Действительно, 1, как конечное число, фигурирует в комплексе E; кроме того, если \ell есть конечное число, то и \ell+1 есть конечное число, т. е. если \ell фигурирует в комплексе E, то в нём фигурирует также число \ell+1.