Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/26

число $n$, то въ немъ содержится также число $n+1$. Эти числа $n$ мы будемъ называть натуральными числами.

5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если $n$ есть натуральное число, то оно отлично отъ числа $n+1$. Въ самомъ дѣлѣ, комплексъ $E$ всѣхъ конечныхъ чиселъ, согласно пункту 3, удовлетворяетъ условiямъ α) и β) ^[1]. Слѣдовательно, $E$ представляетъ собой одинъ изъ комплексовъ $Z$; поэтому $N$ входитъ въ составъ комплекса $E$, т. е. каждое число комплекса $N$ конечно.

Справедливо ли также обратное предложенiе, т. е. фигурируетъ-ли каждое конечное число въ натуральномъ рядѣ, — это вопросъ, рѣшенiе котораго мы вынуждены еще отложить.

При помощи натуральнаго ряда чиселъ мы выдѣлимъ частные числовые комплексы слѣдующимъ образомъ:

6. Пусть $a$ будетъ натуральное число; мы будемъ обозначать символомъ $Z_{a}$ числовой комплексъ, удовлетворяющiй слѣдующимъ двумъ требованiямъ:

α') Число $a+1$ входитъ въ составъ комплекса $Z_{a}$.

β') Если въ составъ комплекса $Z_{a}$ входитъ число $z$, то въ его составъ входитъ также число $z+1$.

Этимъ требованiямъ удовлетворяетъ самый натуральный рядъ $N$; но имъ удовлетворяютъ и другiе числовые комплексы; каждый такой комплексъ, какъ сказано, мы будемъ обозначать символомъ $Z_{a}$. Теперь мы опредѣлимъ комплексъ $N_{a}$, какъ пересеченiе всѣхъ комплексовъ $Z_{a}$. Въ такомъ случаѣ комплексъ $N_{a}$ содержится въ каждомъ комплексѣ $Z_{a}$.

Согласно этому, комплексъ $Z_{a+1}$ опредѣляется слѣдующими свойствами:

α'') Число $a+2$ фигурируетъ въ комплексѣ $Z_{a+1}$.

β'') Если число $z$ содержится въ комплексѣ $Z_{a+1}$, то въ немъ содержится также и число $z+1$.

(Для краткости мы здѣсь пишемъ $a+2$ вместо $[(a+1)+1]$.)

Отсюда слѣдуетъ, что каждый комплексъ $Z_{a}$ представляетъ собой также комплексъ $Z_{a+1}$. Если-же комплексъ $Z_{a+1}$ содержитъ число $a+1$, то онъ представляетъ собой въ то же время комплексъ $Z_{a}$; но если комплексъ $Z_{a+1}$ числа $a+1$ не содержитъ, то къ нему достаточно присоединить число $a+1$, чтобы получить комплексъ $Z_{a}$. Въ обозначенiяхъ

1. Дѣйствительно, $1$, какъ конечное число, фигурируетъ въ комплексѣ $E$; кромѣ того, если $\ell$ есть конечное число, то и $\ell +1$ есть конечное число, т. е. если $\ell$ фигурируетъ въ комплексѣ $E$, то въ немъ фигурируетъ также число $\ell +1$.

Тот же текст в современной орфографии

число $n$, то в нём содержится также число $n+1$. Эти числа $n$ мы будем называть натуральными числами.

5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если $n$ есть натуральное число, то оно отлично от числа $n+1$. В самом деле, комплекс $E$ всех конечных чисел, согласно пункту 3, удовлетворяет условиям α) и β) ^[1]. Следовательно, $E$ представляет собой один из комплексов $Z$; поэтому $N$ входит в состав комплекса $E$, т. е. каждое число комплекса $N$ конечно.

Справедливо ли также обратное предложение, т. е. фигурирует ли каждое конечное число в натуральном ряде, — это вопрос, решение которого мы вынуждены ещё отложить.

При помощи натурального ряда чисел мы выделим частные числовые комплексы следующим образом:

6. Пусть $a$ будет натуральное число; мы будем обозначать символом $Z_{a}$ числовой комплекс, удовлетворяющий следующим двум требованиям:

α') Число $a+1$ входит в состав комплекса $Z_{a}$.

β') Если в состав комплекса $Z_{a}$ входит число $z$, то в его состав входит также число $z+1$.

Этим требованиям удовлетворяет самый натуральный ряд $N$; но им удовлетворяют и другие числовые комплексы; каждый такой комплекс, как сказано, мы будем обозначать символом $Z_{a}$. Теперь мы определим комплекс $N_{a}$, как пересечение всех комплексов $Z_{a}$. В таком случае комплекс $N_{a}$ содержится в каждом комплексе $Z_{a}$.

Согласно этому, комплекс $Z_{a+1}$ определяется следующими свойствами:

α'') Число $a+2$ фигурирует в комплексе $Z_{a+1}$.

β'') Если число $z$ содержится в комплексе $Z_{a+1}$, то в нём содержится также и число $z+1$.

(Для краткости мы здесь пишем $a+2$ вместо $[(a+1)+1]$.)

Отсюда следует, что каждый комплекс $Z_{a}$ представляет собой также комплекс $Z_{a+1}$. Если же комплекс $Z_{a+1}$ содержит число $a+1$, то он представляет собой в то же время комплекс $Z_{a}$; но если комплекс $Z_{a+1}$ числа $a+1$ не содержит, то к нему достаточно присоединить число $a+1$, чтобы получить комплекс $Z_{a}$. В обозначениях

1. Действительно, $1$, как конечное число, фигурирует в комплексе $E$; кроме того, если $\ell$ есть конечное число, то и $\ell +1$ есть конечное число, т. е. если $\ell$ фигурирует в комплексе $E$, то в нём фигурирует также число $\ell +1$.