Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 1/§ 4/ДО

Энциклопедія элементарной математики. Томъ I. Элементарная алгебра и анализъ. — Книга I. Основанiя ариѳметики. Глава I. Натуральныя числа. § 4. Теорема о совершенной индукцiи.
авторъ Генрихъ Веберъ (1842—1913), пер. Веніаминъ Каганъ (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавленіе. Перевод опубл.: 1906. Источникъ: Индекс в Викитеке

§ 4. Теорема о совершенной индукцiи.

На этомъ точномъ опредѣленiи натуральнаго ряда чиселъ покоится предложенiе, представляющее собой одно изъ наиболѣе важныхъ и плодотворныхъ средствъ для познаванiя математическихъ истинъ; это есть такъ называемое предложенiе о совершенной индукцiи, или заключенiе отъ $n$ кь $n+1$. Предложенiе это заключается въ следующемъ.

Пусть ${\mathfrak {S}}_{n}$, представляетъ собой нѣкоторое утвержденiе относительно неопредѣленнаго натуральнаго числа $n$, т. е. предложенiе, содержащее неопредѣленное натуральное число $n$. Если это утвержденiе оказалось справедливымъ

a) для нѣкотораго частнаго значенiя неопредѣленнаго числа $n=a$.

b) а также для всякаго числа $n+1$ въ томъ случаѣ, если оно справедливо для числа $n$, то оно справедливо также для всѣхъ чиселъ комплекса $N_{a}$, т. е. для всѣхъ чиселъ $n$, которыя больше, нежели $a$.

Итакъ, примемъ условiя a) и b) и обозначимъ черезъ $S$ комплексъ тѣхъ чиселъ $n$, для которыхъ предложенiе ${\mathfrak {S}}_{n}$ справедливо. Согласно условiямъ a) и b) число $a+1$ содержится въ комплексѣ $S$; этотъ комплексъ удовлетворяетъ, следовательно, требованiямъ α') и β') § 3. Слѣдовательно, комплексъ $N_{a}$ входитъ въ составъ комплекса $S$. Иначе говоря, каждое число комплекса $N_{a}$ (т. е. каждое число, которое больше, нежели $a$) принадлежитъ къ тѣмъ числамъ $n$, для которыхъ утвержденiе ${\mathfrak {S}}_{n}$ справедливо, — что и требовалось доказать.

Индуктивный процессъ умозаключенiя, который представляетъ собою основу всѣхъ опытныхъ наукъ, заключается въ томъ, что нѣкоторый фактъ, который мы наблюдали въ отдѣльныхъ случаяхъ, принимается за общiй законъ. Дальнѣйшiя наблюденiя либо постоянно подтверждаютъ это допущенiе, либо опровергаютъ его. Въ математикѣ такого рода процессъ можетъ служить только указанiемъ того пути, которому нужно слѣдовать при разысканiи истины; для дѣйствительнаго же доказательства необходимо дополненiе, точное обоснованiе, которое во многихъ случаяхъ достигается примѣненiемъ доказаннаго сейчасъ предложенiя; оно называется поэтому предложенiемъ о совершенной индукции.

Если предложенiе или понятiе, содержащее неопредѣленное число $n$, приводится отъ случая $n+1$ къ случаю $n$, то такой прiемъ называютъ также рекуррентнымъ.

---